Теорема определителя Фробениуса - Frobenius determinant theorem

В математике Теорема определителя Фробениуса была гипотеза, сделанная в 1896 году математиком Ричард Дедекинд, который написал письмо Ф. Г. Фробениус об этом (воспроизведено в (Дедекинд 1968 ), с английским переводом в (Кертис 2003, п. 51)).

Если взять таблицу умножения конечного группа грамм и заменяет каждую запись грамм с переменной Икс_грамм, а затем принимает детерминант, то определяющие факторы как произведение п неприводимые многочлены, где п - количество классов сопряженности. Более того, каждый многочлен возведен в степень, равную его степени. Фробениус доказал эту удивительную гипотезу, и она стала известна как теорема о детерминанте Фробениуса.

Официальное заявление

Пусть конечная группа ${ displaystyle G}$ есть элементы ${ displaystyle g_ {1}, g_ {2}, dots, g_ {n}}$ , и разреши ${ displaystyle x_ {g_ {i}}}$ быть связанным с каждым элементом ${ displaystyle G}$ . Определить матрицу ${ displaystyle X_ {G}}$ с записями ${ displaystyle a_ {ij} = x_ {g_ {i} g_ {j}}}$ . потом

{ displaystyle det X_ {G} = prod _ {j = 1} ^ {r} P_ {j} (x_ {g_ {1}}, x_ {g_ {2}}, dots, x_ {g_ { n}}) ^ { deg P_ {j}}}

куда р - количество классов сопряженностиграмм.^[1]

Рекомендации

^ Этингоф, Теорема 5.4.

Кертис, Чарльз В. (2003), Пионеры теории репрезентации: Фробениус, Бернсайд, Шур и Брауэр, История математики, Providence, R.I .: Американское математическое общество, Дои:10.1090 / S0273-0979-00-00867-3, ISBN 978-0-8218-2677-5, МИСТЕР 1715145 Рассмотрение
Дедекинд, Ричард (1968) [1931], Фрике, Роберт; Нётер, Эмми; Оре, öystein (ред.), Gesammelte Mathematische Werke. Bände I - III, Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., JFM 56.0024.05, МИСТЕР 0237282
Этингоф, Павел. Лекции по теории представлений.
Фробениус, Фердинанд Георг (1968), Серр, Ж.-П. (ред.), Gesammelte Abhandlungen. Bände I, II, III, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-04120-7, МИСТЕР 0235974

[1] Этингоф, Теорема 5.4.

[1]