Лемма Финслера - Finslers lemma

Лемма Финслера математический результат, названный в честь Пол Финслер. В нем указаны эквивалентные способы выражения положительная определенность из квадратичная форма Q сдерживается линейная форма L. Поскольку это эквивалентно другим леммам, используемым в теории оптимизации и управления, таким как S-лемма Якубовича,^[1] Лемме Финслера было дано много доказательств и она широко использовалась, особенно в результатах, связанных с надежная оптимизация и линейные матричные неравенства.

Формулировка леммы Финслера.

Позволять Икс ∈ р^п, Q ∈ р^{п х п} и L ∈ р^{п х п} . Следующие утверждения эквивалентны:^[2]

• ${\displaystyle \displaystyle x^{T}Lx=0{\text{ and }}x\neq 0{\text{ implies }}x^{T}Qx<0.}$
• ${\displaystyle \exists \mu \in \mathbb {R} :Q-\mu L\prec 0.}$

Варианты

В частном случае, когда L положительно полуопределенный, его можно разложить как L = B^ТB. Следующие утверждения, которые в литературе также называются леммой Финслера, эквивалентны:^[3]

• ${\displaystyle x^{T}Qx<0{\text{ for all }}x\in \ker(B)\smallsetminus \{0\}}$
• ${\displaystyle B^{\perp ^{T}}QB^{\perp }\prec 0}$
• ${\displaystyle \exists \mu \in \mathbb {R} :Q-\mu B^{T}B\prec 0}$
• ${\displaystyle \exists X\in \mathbb {R} ^{n\times m}:Q+XB+B^{T}X^{T}\prec 0}$

Обобщения

Лемма о проекции

Следующее утверждение, известное как лемма о проекции (или также как лемма исключения), является распространенным в литературе линейные матричные неравенства:^[4]

• ${\displaystyle B^{\perp ^{T}}QB^{\perp }\prec 0{\text{ and }}C^{T\perp T}QC^{T\perp }\prec 0}$
• ${\displaystyle \exists X\in \mathbb {R} ^{n\times m}:Q+CXB+B^{T}X^{T}C^{T}\prec 0}$

Это можно рассматривать как обобщение одного из вариантов леммы Финслера с включением дополнительной матрицы и дополнительного ограничения.

Надежная версия

Лемма Финслера обобщается также на матрицы Q и B в зависимости от параметра s в наборе S. В этом случае естественно спросить, не является ли та же переменная μ (соответственно Икс) может удовлетворить ${\displaystyle Q(s)-\mu B^{T}(s)B(s)\prec 0}$ для всех ${\displaystyle s\in S}$ (соответственно, ${\displaystyle Q(s)+X(s)B(s)+B^{T}(s)X^{T}(s)\prec 0}$). Если Q и B непрерывно зависит от параметра s, и S является компактный, то это правда. Если S не компактный, но Q и B остаются непрерывными матричнозначными функциями, то μ и Икс можно гарантировать, что они будут по крайней мере непрерывными функциями.^[5]

Приложения

S-переменный подход к робастному управлению линейными динамическими системами

Лемму Финслера можно использовать, чтобы дать новые характеристики линейных матричных неравенств (LMI) для задач устойчивости и управления.^[3] Набор LMI, полученных из этой процедуры, дает менее консервативные результаты при применении к задачам управления, где системные матрицы зависят от параметра, такого как надежный контроль задачи и управление системами с переменными линейными параметрами.^[6] Этот подход недавно был назван подходом S-переменных.^[7][8] и LMI, возникающие из этого подхода, известны как SV-LMI (также известные как расширенные LMI^[9]).

Достаточное условие универсальной стабилизируемости нелинейных систем

А нелинейная система обладает свойством универсальной стабилизируемости, если любое прямое полное решение системы может быть глобально стабилизировано. Используя лемму Финслера, можно вывести достаточное условие универсальной стабилизируемости в терминах дифференциального линейного матричного неравенства.^[10]

Смотрите также

• Линейное матричное неравенство
• S-лемма
• Лемма исключения

Рекомендации

1. Цзы-Цзун, Ян; Джин-Хай, Го (2010). «Некоторые результаты, эквивалентные S-лемме Якубовича». SIAM Journal по управлению и оптимизации. 48 (7): 4474–4480. Дои:10.1137/080744219.
2. Финслер, Пол (1936). "Über das Vorkommen Definiter und semidefiniter Formen в Scharen quadratischer Formen". Комментарии Mathematici Helvetici. 9 (1): 188–192. Дои:10.1007 / BF01258188.
3. де Оливейра, Маурисио К .; Скелтон, Роберт Э. (2001). «Испытания устойчивости линейных систем с ограничениями». В Мохеймани, С. О. Реза (ред.). Перспективы надежного управления. Лондон: Springer-Verlag. стр.241 –257. ISBN  978-1-84628-576-9.
4. Boyd, S .; El Ghaoui, L .; Feron, E .; Балакришнан, В. (1994-01-01). Линейные матричные неравенства в теории систем и управления. Исследования по прикладной и вычислительной математике. Общество промышленной и прикладной математики. Дои:10.1137/1.9781611970777. ISBN  9780898714852.
5. Ishihara, J. Y .; Kussaba, H. T. M .; Борхес, Р. А. (август 2017 г.). «Существование непрерывных или постоянных переменных Финслера для систем, зависящих от параметров». IEEE Transactions по автоматическому контролю. 62 (8): 4187–4193. arXiv:1711.04570. Дои:10.1109 / tac.2017.2682221. ISSN  0018-9286.
6. Oliveira, R. C. L. F .; Перес, П. Л. Д. (июль 2007 г.). "Параметр-зависимые LMI в робастном анализе: характеризация однородных полиномиально зависящих от параметра решений с помощью LMI-релаксации". IEEE Transactions по автоматическому контролю. 52 (7): 1334–1340. Дои:10.1109 / tac.2007.900848. ISSN  0018-9286.
7. Эбихара, Йошио; Peaucelle, Дмитрий; Арзелье, Дени (2015). S-переменный подход к надежному управлению на основе LMI | SpringerLink. Техника связи и управления. Дои:10.1007/978-1-4471-6606-1. ISBN  978-1-4471-6605-4.
8. Hosoe, Y .; Поселль, Д. (июнь 2016 г.). Подход с S-переменными к синтезу робастной стабилизации с обратной связью по состоянию для систем, характеризуемых случайными многогранниками. Европейская конференция по контролю 2016 г. (ECC). С. 2023–2028. Дои:10.1109 / ecc.2016.7810589. ISBN  978-1-5090-2591-6.
9. Ebihara, Y .; Хагивара, Т. (август 2002 г.). Расширенный LMI-подход к надежному анализу характеристик линейных не зависящих от времени неопределенных систем. Материалы 41-й Ежегодной конференции SICE. SICE 2002. 4. С. 2585–2590 т.4. Дои:10.1109 / sice.2002.1195827. ISBN  978-0-7803-7631-1.
10. Манчестер, И. Р .; Слотин, Дж. Дж. Э. (июнь 2017 г.). «Метрики сокращения управления: выпуклые и внутренние критерии для нелинейного дизайна обратной связи». IEEE Transactions по автоматическому контролю. 62 (6): 3046–3053. arXiv:1503.03144. Дои:10.1109 / tac.2017.2668380. ISSN  0018-9286.