Конечное преобразование Лежандра - Finite Legendre transform

В конечное преобразование Лежандра (fLT) преобразует математическую функцию, заданную на конечном интервале, в ее спектр Лежандра.[1][2]И наоборот, обратный fLT (ifLT) восстанавливает исходную функцию из компонентов спектра Лежандра и Полиномы Лежандра, ортогональные на отрезке [−1,1]. В частности, предположим, что функция Икс(т), который определяется на интервале [−1,1] и дискретизируется на N равноудаленные точки на этом интервале. Тогда fLT дает разложение Икс(т) на его спектральные лежандровы компоненты,

где множитель (2k + 1)/N служит коэффициентом нормализации и LИкс(k) дает вклад k-й полином Лежандра к Икс(т) такое, что (ifLT)

FLT не следует путать с преобразованием Лежандра или Превращение Лежандра используется в термодинамике и квантовой физике.

Фильтр Лежандра

FLT шумного экспериментального результата s(т) и последующее применение обратной fLT (ifLT) к соответственно усеченному спектру Лежандра s(т) дает сглаженную версию s(т). Таким образом, fLT и неполный ifLT действуют как фильтр. В отличие от обычного Фурье фильтр нижних частот который передает низкочастотные гармоники и отфильтровывает высокочастотные гармоники, фильтр нижних частот Лежандра передает компоненты сигнала, пропорциональные полиномам Лежандра низкой степени, а компоненты сигнала, пропорциональные полиномам Лежандра более высокой степени, отфильтровываются.[3]

Рекомендации

  1. ^ Джерри, А.Дж. (1992). Интегральные и дискретные преобразования с приложениями и анализом ошибок. Чистая и прикладная математика. 162. Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc. Zbl  0753.44001.
  2. ^ Méndez-Pérez, J.M.R .; Микель Моралес, Г. (1997). «О свертке обобщенного конечного преобразования Лежандра». Математика. Nachr. 188: 219–236. Дои:10.1002 / мана.19971880113. Zbl  0915.46038.
  3. ^ Гобинь Бао и Детлев Шильд, Быстрая и точная подгонка и фильтрация зашумленных экспонент в пространстве легенд, 2014. PLoS ONE, 9 (3), e90500

дальнейшее чтение

  • Бутцер, Пол Л. (1983). «Методы преобразования Лежандра в решении основных задач алгебраического приближения». Функции, ряды, операторы, Учеб. внутр. Конф., Будапешт, 1980, т. я. Коллок. Математика. Soc. Янош Бойяи. 35. С. 277–301. Zbl  0567.41010.