Быстрое преобразование Уолша – Адамара - Fast Walsh–Hadamard transform

Быстрое преобразование Уолша – Адамара, примененное к вектору длиной 8

Пример для входного вектора (1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0)

В вычислительной математике Адамар приказал быстрое преобразование Уолша – Адамара (FWHT_час) является эффективным алгоритм вычислить Преобразование Уолша-Адамара (БЕЛЫЙ). Наивная реализация WHT порядка ${ Displaystyle п = 2 ^ {м}}$ имел бы вычислительная сложность из O ( ${ Displaystyle п ^ {2}}$ ). FWHT_час требуется только ${ Displaystyle п журнал п}$ сложения или вычитания.

FWHT_час это разделяй и властвуй алгоритм который рекурсивно разбивает WHT размера ${ displaystyle n}$ на два WHT меньшего размера ${ displaystyle n / 2}$ . ^[1] Эта реализация следует рекурсивному определению ${ displaystyle 2 ^ {m} times 2 ^ {m}}$ Матрица Адамара ${ displaystyle H_ {m}}$ :

{ displaystyle H_ {m} = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} H_ {m-1} & H_ {m-1} H_ {m-1} & - H_ {m-1} end {pmatrix}}.}

В ${ displaystyle 1 / { sqrt {2}}}$ Коэффициенты нормализации для каждого этапа могут быть сгруппированы вместе или даже опущены.

В заказанная последовательность, также известное как упорядоченное по Уолшу быстрое преобразование Уолша – Адамара, FWHT_ш, получается путем вычисления FWHT_час как указано выше, а затем переставляем выходы.

Простая быстрая нерекурсивная реализация преобразования Уолша-Адамара следует из разложения матрицы преобразования Адамара как ${ displaystyle H_ {m} = A ^ {m}}$ , где A - корень m-й степени из ${ displaystyle H_ {m}}$ . ^[2]

Пример кода Python

def fwht(а) -> Никто:    "" "Быстрое преобразование Уолша – Адамара на месте массива a." ""    час = 1    пока час < len(а):        за я в классифицировать(0, len(а), час * 2):            за j в классифицировать(я, я + час):                Икс = а[j]                у = а[j + час]                а[j] = Икс + у                а[j + час] = Икс - у        час *= 2