Exalcomm - Exalcomm

В алгебре Exalcomm - функтор, классифицирующий расширения коммутативной алгебры модуль. Точнее, элементы Exalcomm_k(р,M) - классы изоморфизма коммутативных k-алгебры E с гомоморфизмом на k-алгебра р чье ядро является р-модуль M (со всеми парами элементов в M имеющий продукт 0). Обратите внимание, что некоторые авторы используют Exal как тот же функтор. Есть похожие функторы Exal и Exan для некоммутативных колец и алгебр и функторов Exaltop, Exantop. и Exalcotop которые принимают во внимание топологию.

«Exalcomm» - это сокращение от «COMMutative ALgebra Extension» (или, скорее, от соответствующей французской фразы). Он был представлен Гротендик (1964, 18.4.2).

Exalcomm - один из Когомологии Андре – Квиллена группы и один из Функторы Лихтенбаума – Шлезингера.

Для гомоморфизмов коммутативных колец А → B → C и C-модуль L есть точная последовательность А-модули (Гротендик 1964, 20.2.3.1)

{ displaystyle { begin {align} 0 rightarrow & operatorname {Der} _ {B} (C, L) rightarrow operatorname {Der} _ {A} (C, L) rightarrow operatorname {Der} _ {A} (B, L) rightarrow & operatorname {Exalcomm} _ {B} (C, L) rightarrow operatorname {Exalcomm} _ {A} (C, L) rightarrow operatorname {Exalcomm } _ {A} (B, L) end {выровнены}}}

где Дер_А(B,L) - модуль выводов А-алгебра B со значениями в L. Эту последовательность можно продолжить вправо, используя Когомологии Андре – Квиллена.

Расширения с нулевым квадратом

Чтобы понять конструкцию Exal, необходимо определить понятие расширений с нулевым квадратом. Исправить топос ${ displaystyle T}$ и пусть все алгебры будут над ней алгебрами. Обратите внимание, что топос точки дает частный случай коммутативных колец, поэтому игнорирование гипотезы топоса можно игнорировать при первом чтении.

Определение

Для определения категории ${ displaystyle { underline { text {Exal}}}}$ нам нужно определить, что такое расширение с нулевым квадратом. Учитывая сюръективный морфизм ${ displaystyle A}$ -алгебры ${ displaystyle p: E to B}$ это называется расширение с нулевым квадратом если ядро ${ displaystyle I}$ из ${ displaystyle p}$ имеет собственность ${ Displaystyle I ^ {2} = (0)}$ является нулевым идеалом.

Замечание

Обратите внимание, что ядро может быть оснащено ${ displaystyle B}$ -модуль имеет следующую структуру: поскольку ${ displaystyle p}$ сюръективно, любое ${ displaystyle b in B}$ есть лифт в ${ displaystyle x in E}$ , так ${ displaystyle b cdot m: = x cdot m}$ за ${ displaystyle m in I}$ . Поскольку любой лифт отличается на элемент ${ displaystyle k in I}$ в ядре, и

${ Displaystyle (х + К) CDOT м = х CDOT м + к CDOT м = х CDOT м}$

поскольку идеал равен нулю с квадратом, эта модульная структура хорошо определена.

Примеры

От деформаций двойных чисел

Расширения с нулевым квадратом являются обобщением деформаций над двойные числа. Например, деформация двойных чисел

${ displaystyle { begin {matrix} { text {Spec}} left ({ frac {k [x, y]} {(y ^ {2} -x ^ {3})}} right) & to & { text {Spec}} left ({ frac {k [x, y] [ varepsilon]} {(y ^ {2} -x ^ {3} + varepsilon)}} right) downarrow && downarrow { text {Spec}} (k) & to & { text {Spec}} (k [ varepsilon]) end {matrix}}}$

имеет соответствующее расширение с нулевым квадратом

${ displaystyle 0 to ( varepsilon) to { frac {k [x, y] [ varepsilon]} {(y ^ {2} -x ^ {3} + varepsilon)}} to { гидроразрыв {k [x, y]} {(y ^ {2} -x ^ {3})}} to 0}$

из ${ displaystyle k}$ -алгебры.

От более общих деформаций

Но поскольку идея квадратных нулевых расширений является более общей, деформации над ${ Displaystyle к [ varepsilon _ {1}, varepsilon _ {2}]}$ куда ${ Displaystyle varepsilon _ {1} cdot varepsilon _ {2} = 0}$ приведем примеры расширений с нулевым квадратом.

Тривиальное расширение с нулевым квадратом

Для ${ displaystyle B}$ -модуль ${ displaystyle M}$ , существует тривиальное расширение с нулевым квадратом, задаваемое формулой ${ displaystyle B oplus M}$ где структура продукта определяется выражением

${ displaystyle (b, m) cdot (b ', m') = (bb ', bm' + b'm)}$

следовательно, соответствующее расширение с нулевым квадратом

${ Displaystyle 0 к M к B oplus M к B к 0}$

где сюръекция - это карта проекции, забывающая ${ displaystyle M}$ .

Строительство

Общая абстрактная конструкция Exal^[1] следует из первого определения категории расширений ${ displaystyle { underline { text {Exal}}}}$ над топосом ${ displaystyle T}$ (или просто категория коммутативных колец), затем выделение подкатегории, в которой базовое кольцо ${ displaystyle A}$ ${ displaystyle { underline { text {Exal}}} _ {A}}$ фиксировано, а затем с помощью функтора ${ displaystyle pi: { underline { text {Exal}}} _ {A} (B, -) to { text {B-Mod}}}$ получить модуль расширений коммутативной алгебры ${ displaystyle { text {Exal}} _ {A} (B, M)}$ для фиксированного ${ displaystyle M in { text {Ob}} ({ text {B-Mod}})}$ .

Генеральный Exal

Для этого фиксированного топоса пусть ${ displaystyle { underline { text {Exal}}}}$ быть категорией пар ${ displaystyle (A, p: E to B)}$ куда ${ displaystyle p: E to B}$ является сюръективным морфизмом ${ displaystyle A}$ -алгебры такие, что ядро ${ displaystyle I}$ нулевой квадрат, где морфизмы определяются как коммутативные диаграммы между ${ displaystyle (A, p: E to B) to (A ', p': E ' to B')}$ . Есть функтор

${ displaystyle pi: { underline { text {Exal}}} to { text {Algmod}}}$

отправка пары ${ displaystyle (A, p: E to B)}$ к паре ${ Displaystyle (от А до В, я)}$ куда ${ displaystyle I}$ это ${ displaystyle B}$ -модуль.

Exal_А, Exal_А(B, -)

Тогда существует надкатегория, обозначенная ${ displaystyle { underline { text {Exal}}} _ {A}}$ (имеется в виду функтор ${ displaystyle { underline { text {Exal}}} _ {A} to { displaystyle { underline { text {Exal}}}}}$ ) где объекты - пары ${ displaystyle (A, p: E to B)}$ , но первое кольцо ${ displaystyle A}$ фиксировано, поэтому морфизмы имеют вид

${ displaystyle (A, p: E to B) to (A, p ': E' to B ')}$

Есть дальнейшее сокращение до другой категории ${ displaystyle { underline { text {Exal}}} _ {A} (B, -)}$ где морфизмы имеют вид

${ displaystyle (A, p: E to B) to (A, p ': E' to B)}$

Exal_А(B, I)

Наконец, категория ${ displaystyle { underline { text {Exal}}} _ {A} (B, I)}$ имеет фиксированное ядро расширений с нулевым квадратом. Обратите внимание, что в ${ displaystyle { text {Algmod}}}$ , для фиксированного ${ displaystyle A, B}$ , есть подкатегория ${ Displaystyle (от A до B, I)}$ куда ${ displaystyle I}$ это ${ displaystyle B}$ -module, поэтому он эквивалентен ${ displaystyle { text {B-Mod}}}$ . Следовательно, образ ${ displaystyle { underline { text {Exal}}} _ {A} (B, I)}$ под функтором ${ displaystyle pi}$ живет в ${ displaystyle { text {B-Mod}}}$ .

Классы изоморфизма объектов имеют структуру ${ displaystyle B}$ -модуль с ${ displaystyle { underline { text {Exal}}} _ {A} (B, I)}$ является стеком Пикара, поэтому категорию можно превратить в модуль ${ displaystyle { text {Exal}} _ {A} (B, I)}$ .

Структура Exal_А(B, I)

Есть несколько результатов по структуре ${ displaystyle { underline { text {Exal}}} _ {A} (B, I)}$ и ${ displaystyle { text {Exal}} _ {A} (B, I)}$ которые полезны.

Автоморфизмы

Группа автоморфизмов объекта ${ displaystyle X in { text {Ob}} ({ underline { text {Exal}}} _ {A} (B, I))}$ можно отождествить с автоморфизмами тривиального расширения ${ displaystyle B oplus M}$ . Они классифицируются модулем выводов ${ displaystyle { text {Der}} _ {A} (B, M)}$ . Следовательно, категория ${ displaystyle { underline { text {Exal}}} _ {A} (B, I)}$ это торсор. Фактически, это также можно интерпретировать как Герб так как это группа, действующая в стеке.

Состав пристроек

Есть еще один полезный результат о категориях ${ displaystyle { underline { text {Exal}}} _ {A} (B, -)}$ описывая расширения ${ Displaystyle I oplus J}$ , существует изоморфизм

${ displaystyle { underline { text {Exal}}} _ {A} (B, I oplus J) cong { underline { text {Exal}}} _ {A} (B, I) times { underline { text {Exal}}} _ {A} (B, J)}$

Это можно интерпретировать как утверждение, что расширение с нулевым квадратом от деформации в двух направлениях может быть разложено на пару удлинений с нулевым квадратом, каждое в направлении одной из деформаций.

Заявление

Например, деформации бесконечно малыми ${ displaystyle varepsilon _ {1}, varepsilon _ {2}}$ куда ${ displaystyle varepsilon _ {1} ^ {2} = varepsilon _ {1} varepsilon _ {2} = varepsilon _ {2} ^ {2} = 0}$ дает изоморфизм

${ displaystyle { underline { text {Exal}}} _ {A} (B, ( varepsilon _ {1}) oplus ( varepsilon _ {2})) cong { underline { text {Exal }}} _ {A} (B, ( varepsilon _ {1})) times { underline { text {Exal}}} _ {A} (B, ( varepsilon _ {2}))}$

куда ${ displaystyle I}$ является модулем этих двух бесконечно малых. В частности, если связать это с теорией Кодаиры-Спенсера и использовать сравнение с сопутствующим комплексом (приведенным ниже), это означает, что все такие деформации классифицируются следующим образом:

${ displaystyle H ^ {1} (X, T_ {X}) times H ^ {1} (X, T_ {X})}$

следовательно, это просто пара деформаций первого порядка, соединенных вместе.

Связь с котангенсом

В котангенс комплекс содержит всю информацию о проблеме деформации, и это основная теорема, согласно которой при морфизме колец ${ displaystyle от A до B}$ над топосом ${ displaystyle T}$ (делать заметки ${ displaystyle T}$ как показывает точка topos, это обобщает конструкцию для общих колец), существует функториальный изоморфизм

${ displaystyle { text {Exal}} _ {A} (B, M) xrightarrow { simeq} { text {Ext}} _ {B} ^ {1} ( mathbf {L} _ {B / ЯВЛЯЮСЬ)}$ ^[1]^{(теорема III.1.2.3)}

Итак, для коммутативного квадрата морфизмов колец

${ displaystyle { begin {matrix} A '& to & B' downarrow && downarrow A & to & B end {matrix}}}$

над ${ displaystyle T}$ есть квадрат

${ displaystyle { begin {matrix} { text {Exal}} _ {A} (B, M) & to & { text {Ext}} _ {B} ^ {1} ( mathbf {L} _ {B / A}, M) downarrow && downarrow { text {Exal}} _ {A '} (B', M) & to & { text {Ext}} _ {B '} ^ {1} ( mathbf {L} _ {B' / A '}, M) end {matrix}}}$

горизонтальные стрелки которых являются изоморфизмами и ${ displaystyle M}$ имеет структуру ${ displaystyle B '}$ -модуль из морфизма колец.

Exalcomm - Exalcomm

Содержание