Точная пара - Exact couple

В математике точная пара, из-за Уильям С. Мэсси  (1952 ), является общим источником спектральные последовательности. Это часто встречается, особенно в алгебраическая топология; Например, Спектральная последовательность Серра можно построить, построив сначала точную пару.

Для определения точной пары и построения спектральной последовательности из нее (которая является непосредственной) см. спектральная последовательность # Точные пары. Для основного примера см. Спектральная последовательность Бокштейна. В данной статье представлены дополнительные материалы.

Точная пара фильтрованного комплекса

Позволять р кольцо, которое фиксируется на протяжении всего обсуждения. Обратите внимание, если р является Z, то модули над р то же самое, что абелевы группы.

Каждый фильтрованный цепной комплекс модулей определяет точную пару, которая, в свою очередь, определяет спектральную последовательность следующим образом. Позволять C - цепной комплекс, градуированный целыми числами, и предположим, что ему задана возрастающая фильтрация: для каждого целого числа п, есть включение комплексов:

${\displaystyle F_{p-1}C\subset F_{p}C.}$

Из фильтрации можно сформировать ассоциированный градуированный комплекс:

${\displaystyle \operatorname {gr} C=\bigoplus _{-\infty }^{\infty }F_{p}C/F_{p-1}C,}$

который является дважды градуированным и является нулевой страницей спектральной последовательности:

${\displaystyle E_{p,q}^{0}=(\operatorname {gr} C)_{p,q}=(F_{p}C/F_{p-1}C)_{p+q}.}$

Чтобы получить первую страницу, для каждого фиксированного п, смотрим краткую точную последовательность комплексов:

${\displaystyle 0\to F_{p-1}C\to F_{p}C\to (\operatorname {gr} C)_{p}\to 0}$

откуда мы получаем длинную точную последовательность гомологий: (п все еще исправлено)

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(F_{p-1}C){\overset {i}{\to }}H_{n}(F_{p}C){\overset {j}{\to }}H_{n}(\operatorname {gr} (C)_{p}){\overset {k}{\to }}H_{n-1}(F_{p-1}C)\to \cdots }$

С обозначениями ${\displaystyle D_{p,q}=H_{p+q}(F_{p}C),\,E_{p,q}^{1}=H_{p+q}(\operatorname {gr} (C)_{p})}$, это гласит:

${\displaystyle \cdots \to D_{p-1,q+1}{\overset {i}{\to }}D_{p,q}{\overset {j}{\to }}E_{p,q}^{1}{\overset {k}{\to }}D_{p-1,q}\to \cdots ,}$

что в точности пара и ${\displaystyle E^{1}}$ комплекс с дифференциалом ${\displaystyle d=j\circ k}$. Производная пара этой точной пары дает вторую страницу, и мы повторяем ее. В итоге получаются комплексы ${\displaystyle E_{*,*}^{r}}$ с дифференциалом d:

${\displaystyle E_{p,q}^{r}{\overset {k}{\to }}D_{p-1,q}^{r}{\overset {{}^{r}j}{\to }}E_{p-r,q+r-1}^{r}.}$

Следующая лемма дает более явную формулу для спектральной последовательности; в частности, это показывает, что построенная выше спектральная последовательность совпадает с более традиционной прямой конструкцией, в которой в качестве определения используется приведенная ниже формула (см. Спектральная последовательность # Спектральная последовательность фильтрованного комплекса. ).

Лемма — Позволять ${\displaystyle A_{p}^{r}=\{c\in F_{p}C\mid d(c)\in F_{p-r}C\}}$, который наследует ${\displaystyle \mathbb {Z} }$- оценка от ${\displaystyle F_{p}C}$. Тогда для каждого п

${\displaystyle E_{p,*}^{r}\simeq {A_{p}^{r} \over d(A_{p+r-1}^{r-1})+A_{p-1}^{r-1}}.}$

Эскиз доказательства:^[1][2] Вспоминая ${\displaystyle d=j\circ k}$, легко увидеть:

${\displaystyle Z^{r}=k^{-1}(\operatorname {im} i^{r}),\,B^{r}=j(\operatorname {ker} i^{r}),}$

где они рассматриваются как подкомплексы ${\displaystyle E^{1}}$.

Напишем планку для ${\displaystyle F_{p}C\to F_{p}C/F_{p-1}C}$. Сейчас если ${\displaystyle [{\overline {x}}]\in Z_{p,q}^{r-1}\subset E_{p,q}^{1}}$, тогда ${\displaystyle k([{\overline {x}}])=i^{r-1}([y])}$ для некоторых ${\displaystyle [y]\in D_{p-r,q+r-1}=H_{p+q-1}(F_{p}C)}$. С другой стороны, вспоминая k - связующий гомоморфизм, ${\displaystyle k([{\overline {x}}])=[d(x)]}$ куда Икс представитель, живущий в ${\displaystyle (F_{p}C)_{p+q}}$. Таким образом, мы можем написать: ${\displaystyle d(x)-i^{r-1}(y)=d(x')}$ для некоторых ${\displaystyle x'\in F_{p-1}C}$. Следовательно, ${\displaystyle [{\overline {x}}]\in Z_{p}^{r}\Leftrightarrow x\in A_{p}^{r}}$ по модулю ${\displaystyle F_{p-1}C}$, уступая ${\displaystyle Z_{p}^{r}\simeq (A_{p}^{r}+F_{p-1}C)/F_{p-1}C}$.

Далее отметим, что класс в ${\displaystyle \operatorname {ker} (i^{r-1}:H_{p+q}(F_{p}C)\to H_{p+q}(F_{p+r-1}C))}$ представлен циклом Икс такой, что ${\displaystyle x\in d(F_{p+r-1}C)}$. Следовательно, поскольку j индуцируется ${\displaystyle {\overline {\cdot }}}$, ${\displaystyle B_{p}^{r-1}=j(\operatorname {ker} i^{r-1})\simeq (d(A_{p+r-1}^{r-1})+F_{p-1}C)/F_{p-1}C}$.

Делаем вывод: поскольку ${\displaystyle A_{p}^{r}\cap F_{p-1}C=A_{p-1}^{r-1}}$,

${\displaystyle E_{p,*}^{r}={Z_{p}^{r-1} \over B_{p}^{r-1}}\simeq {A_{p}^{r}+F_{p-1}C \over d(A_{p+r-1}^{r-1})+F_{p-1}C}\simeq {A_{p}^{r} \over d(A_{p+r-1}^{r-1})+A_{p-1}^{r-1}}.\qquad \square }$

Теорема — Если ${\displaystyle C=\cup _{p}F_{p}C}$ и для каждого п есть целое число ${\displaystyle s(n)}$ такой, что ${\displaystyle F_{s(n)}C_{n}=0}$, то спектральная последовательность E^р сходится к ${\displaystyle H_{*}(C)}$; то есть, ${\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}(C)/F_{p-1}H_{p+q}(C)}$.

Доказательство: см. Последний раздел мая. ${\displaystyle \square }$

Точная пара двойного комплекса

Двойной комплекс определяет две точные пары; откуда и две спектральные последовательности, как показано ниже. (Некоторые авторы называют две спектральные последовательности горизонтальной и вертикальной.) Пусть ${\displaystyle K^{p,q}}$ быть двойным комплексом.^[3] С обозначениями ${\displaystyle G^{p}=\bigoplus _{i\geq p}K^{i,*}}$, для каждого с фиксированным п, имеем точную последовательность коцепных комплексов:

${\displaystyle 0\to G^{p+1}\to G^{p}\to K^{p,*}\to 0.}$

Взяв его когомологию, мы получим точную пару:

${\displaystyle \cdots \to D^{p,q}{\overset {j}{\to }}E_{1}^{p,q}{\overset {k}{\to }}\cdots }$

где мы использовали обозначение по симметрии, то есть переключая первый и второй индексы, один также получает другую точную пару.

Пример: спектральная последовательность Серра

В Спектральная последовательность Серра возникает из расслоение:

${\displaystyle F\to E\to B.}$

Для наглядности мы рассматриваем только случай, когда пространства являются комплексами CW, F связан и B просто связано; в общем случае требуется больше технических деталей (а именно, система местных коэффициентов ).

Примечания

1. Май, Доказательство (7.3)
2. Вайбель 1994, Теорема 5.9.4.
3. Мы предпочитаем здесь когомологические обозначения, поскольку приложения часто находятся в алгебраической геометрии.

Рекомендации

• Мэй, Дж. Питер, Праймер по спектральным последовательностям (PDF)
• Мэсси, Уильям С. (1952), "Точные пары в алгебраической топологии. I, II", Анналы математики, Вторая серия, 56: 363–396, Дои:10.2307/1969805, МИСТЕР  0052770.
• Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру, Кембриджские исследования по высшей математике, 38, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9781139644136, ISBN  0-521-43500-5, МИСТЕР  1269324.