Евклидова случайная матрица - Euclidean random matrix

An N×N Евклидова случайная матрица Â определяется с помощью произвольной детерминированной функции ж(р, р') и из N точки {ря} случайным образом распределены в регионе V из d-размерный Евклидово пространство. Элемент Aij матрицы равна ж(ря, рj): Аij = ж(ря, рj).

История

Евклидовы случайные матрицы были впервые введены в 1999 году.[1] Они изучили частный случай функций ж которые зависят только от расстояний между парами точек: ж(р, р′) = ж(р - р′) И наложили дополнительное условие на диагональные элементы Aii,

Аij = ж(ря - рj) - u δij∑kж(ря - рk),

мотивированы физическим контекстом, в котором они изучали матрицу. Матрица евклидовых расстояний является частным примером евклидовой случайной матрицы с любым ж(ря - рj) = |ря - рj|2 или же ж(ря - рj) = |ря - рj|.[2]

Например, во многих биологических сетях сила взаимодействия между двумя узлами зависит от физической близости этих узлов. Пространственные взаимодействия между узлами могут быть смоделированы как евклидова случайная матрица, если узлы расположены в пространстве случайным образом.[3][4]

Характеристики

Поскольку положение точек {ря} случайны, матричные элементы Aij тоже случайны. Более того, поскольку N×N элементы полностью определяются только N точек и, как правило, интересуются N≫d, между различными элементами существуют сильные корреляции.

Пример 1
Пример распределения вероятностей собственных значений Λ евклидовой случайной матрицы, порожденной функцией ж(р, р′) = Грех (k0ǀр-р′ ǀ) / (k0ǀр-р′ ǀ), причем k0 = 2π / λ0. Распределение Марченко-Пастура (красный) сравнивается с результатом численной диагонализации набора случайно сгенерированных матриц размера N×N. Плотность точек ρλ03 = 0.1.

Эрмитовы евклидовы случайные матрицы

Эрмитский Евклидовы случайные матрицы появляются в различных физических контекстах, включая переохлажденные жидкости,[5] фононы в неупорядоченных системах,[6] и волны в случайных средах.[7]

Пример 1: Рассмотрим матрицу Â, порожденную функцией ж(р, р′) = Грех (k0|р-р′|)/(k0|р-р′ |), Причем k0 = 2π / λ0. Эта матрица Эрмитский и это собственные значения Λ являются настоящий. За N точки распределены случайным образом в кубе стороны L и объем V = L3, можно показать[7] что распределение вероятностей Λ приближенно задается Закон Марченко-Пастура, если плотность точек ρ = N/V подчиняется ρλ03 ≤ 1 и 2,8N/(k0 L)2 <1 (см. Рисунок).

Пример 2
Пример распределения вероятностей собственных значений Λ евклидовой случайной матрицы, порожденной функцией ж(р, р′) = Ехр (ik0ǀр-р′ ǀ) / (k0ǀр-р′ ǀ), причем k0 = 2π / λ0 и ж(р= р′) = 0.

Неэрмитовы евклидовы случайные матрицы

Теория для собственное значение плотность больших (N≫1) разработаны неэрмитовы евклидовы случайные матрицы[8] и был применен для изучения проблемы случайный лазер.[9]

Пример 2: Рассмотрим матрицу Â, порожденную функцией ж(р, р′) = Ехр (ik0|р-р′|)/(k0|р-р′ |), Причем k0 = 2π / λ0 и ж(р= р′) = 0. Эта матрица не эрмитова, а ее собственные значения Λ равны сложный. Распределение вероятностей Λ можно найти аналитически[8] если плотность точки ρ = N/V подчиняется ρλ03 ≤ 1 и 9N/(8k0 р)2 <1 (см. Рисунок).

Рекомендации

  1. ^ Mezard, M .; Parisi, G .; Зи, А. (1999). «Спектры евклидовых случайных матриц». Ядерная физика B. 559 (3): 689–701. arXiv:cond-mat / 9906135. Bibcode:1999НуФБ.559..689М. Дои:10.1016 / S0550-3213 (99) 00428-9.
  2. ^ Богомольный, Е .; Bohigas, O .; Шмит, К. (2003). «Спектральные свойства матриц расстояний». Журнал физики A: математические и общие. 36 (12): 3595–3616. arXiv:nlin / 0301044. Bibcode:2003JPhA ... 36.3595B. Дои:10.1088/0305-4470/36/12/341.
  3. ^ Мьюир, Дилан; Миссис-Флогель, Томас (2015). «Оценки собственного спектра полуслучайных матриц с модульной и пространственной структурой для нейронных сетей». Phys. Ред. E. 91: 042808. Bibcode:2015ПхРвЭ..91д2808М. Дои:10.1103 / PhysRevE.91.042808.
  4. ^ Грилли, Якопо; Барабаш, Дьёрдь; Аллезина, Стефано (2015). «Постоянство метапопуляции в случайных фрагментированных ландшафтах». PLOS вычислительная биология. 11 (5): e1004251. Bibcode:2015PLSCB..11E4251G. Дои:10.1371 / journal.pcbi.1004251. ISSN  1553-7358. ЧВК  4439033.
  5. ^ Grigera, T. S .; Мартин-Майор, В .; Parisi, G .; Верроккьо, П. (2003). «Фононная интерпретация« бозонного пика »в переохлажденных жидкостях». Природа. 422 (6929): 289–292. Bibcode:2003Натура.422..289Г. Дои:10.1038 / природа01475. PMID  12646916.
  6. ^ Амир, А .; Oreg, Y .; Имри, Ю. (2010). "Локализация, аномальная диффузия и медленная релаксация: матричный подход случайных расстояний". Письма с физическими проверками. 105 (7): 070601. arXiv:1002.2123. Bibcode:2010ПхРвЛ.105г0601А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.105.070601. PMID  20868026.
  7. ^ а б Скипетров, С.Е .; Гетши, А. (2011). «Распределения собственных значений больших евклидовых случайных матриц для волн в случайных средах». Журнал физики A: математический и теоретический. 44 (6): 065102. arXiv:1007.1379. Bibcode:2011JPhA ... 44f5102S. Дои:10.1088/1751-8113/44/6/065102.
  8. ^ а б Goetschy, A .; Скипетров, С. (2011). "Неэрмитова евклидова теория случайных матриц". Физический обзор E. 84. arXiv:1102.1850. Bibcode:2011PhRvE..84a1150G. Дои:10.1103 / PhysRevE.84.011150.
  9. ^ Goetschy, A .; Скипетров, С. Е. (2011). «Евклидова матричная теория случайной генерации в облаке холодных атомов». EPL. 96 (3): 34005. arXiv:1104.2711. Bibcode:2011EL ..... 9634005G. Дои:10.1209/0295-5075/96/34005.