Мера Эстермана - Estermann measure

А Треугольник Рело и его отражение, заключенное в их наименьшее центрально-симметричное выпуклое надмножество, правильный шестиугольник

В плоская геометрия то Мера Эстермана - число, определенное для любого ограниченного выпуклый набор описывая, как близко к тому, чтобы быть центрально-симметричный Это. Это отношение площадей между данным набором и его наименьшим центрально-симметричным выпуклым надмножеством. Это один для набора, который является центрально-симметричным, и меньше единицы для наборов, замыкание которых не является центрально-симметричным. Он инвариантен относительно аффинные преобразования самолета.^[1]

Характеристики

Если ${\displaystyle c}$ является центром симметрии наименьшего центрально-симметричного множества, содержащего данное выпуклое тело ${\displaystyle K}$, то само центрально-симметричное множество является выпуклый корпус союза ${\displaystyle K}$ с его отражением через ${\displaystyle c}$.^[1]

Минимайзеры

Форма минимальной меры Эстермана - это треугольники, для которых эта мера равна 1/2.^[1][2] В кривая постоянной ширины с наименьшей мерой Эстермана Треугольник Рело.^[3]

История

Мера Эстерманна названа в честь Теодор Эстерманн, который впервые в 1928 году доказал, что эта мера всегда не меньше 1/2 и что выпуклое множество с мерой Эстермана 1/2 должно быть треугольником.^[4][1][2] Последующие доказательства были даны Фридрих Вильгельм Леви, к Иштван Фари, и по Исаак Яглом и Владимир Болтянский.^[1]

Смотрите также

• Мера Ковнера – Безиковича, мера центральной симметрии, определяемая с помощью подмножеств вместо надмножеств

Рекомендации

1. Грюнбаум, Бранко (1963), «Меры симметрии для выпуклых множеств», в Клее, Виктор Л. (ред.), Выпуклость, Труды симпозиумов по чистой математике, 7, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 233–270, МИСТЕР  0156259
2. Макеев, В. В. (2007), "Некоторые экстремальные задачи для векторных расслоений", Санкт-Петербургский математический журнал, 19 (2): 131–155, Дои:10.1090 / S1061-0022-08-00998-9, МИСТЕР  2333901
3. Финч, Стивен Р. (2003), «8.10 Константы треугольника Рело» (PDF), Математические константы, Энциклопедия математики и ее приложений, Cambridge University Press, стр.513–514, ISBN  978-0-521-81805-6.
4. Эстерманн, Теодор (1928), "Über den Vektorenbereich eines konvexen Körpers", Mathematische Zeitschrift, 28 (1): 471–475, Дои:10.1007 / BF01181177, МИСТЕР  1544971, S2CID  119465984