Эмпирическая характеристическая функция - Empirical characteristic function

Позволять ${\displaystyle (X_{1},...,X_{n})}$ быть независимые, одинаково распределенные вещественные случайные величины с общими характеристическая функция ${\displaystyle \varphi (t)}$. Эмпирическая характеристическая функция (ECF), определяемая как

${\displaystyle \varphi _{n}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{{\rm {i}}tX_{j}},\ {\rm {i}}={\sqrt {-1}},}$

несмещенная и последовательная оценка соответствующей характеристической функции населения ${\displaystyle \varphi (t)}$, для каждого ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. ECF, очевидно, дебютировал на странице 342 классического учебника Крамер (1946),^[1] а затем как часть вспомогательных инструментов для оценки плотности в Parzen (1962).^[2] Спустя почти десять лет ECF выступает в качестве основного объекта исследования в двух отдельных областях применения: In Press (1972)^[3] за оценка параметров и в Хиткоте (1972)^[4] за добродетель тестирование. С того времени последовало широкое распространение методов статистического вывода, основанных на ECF. Для обзоров методов оценки, основанных на ECF, читателя отсылаем к Csörg (1984a),^[5] Ремиллар и Теодореску (2001),^[6] Ю (2004),^[7] и Карраско и Кочони (2017),^[8] в то время как процедуры тестирования описаны Csörg (1984b),^[9] Гушкова и Мейнтанис (2008a),^[10] Гушкова и Мейнтанис (2008b),^[11] и Мейнтанис (2016).^[12] Ушаков (1999)^[13] также является хорошим источником информации о предельных свойствах процесса ECF, а также об оценке и тестировании согласия с помощью ECF. Особого упоминания заслуживает направление исследований ECF на независимость с помощью корреляция расстояний как первоначально было предложено Székely et al. (2007).^[14] Этот подход стал чрезвычайно популярным и в настоящее время активно развивается. Мы ссылаемся на Edelmann et al. (2019)^[15] для недавнего обзора методов дистанционной корреляции.

Рекомендации

1. Крамер Х (1946) Математические методы статистики. Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси
2. Parzen E (1962) Об оценке функции плотности вероятности и моды. Анналы математической статистики. 33: 1065–1076
3. Press SJ (1972) Оценка в одномерных и многомерных устойчивых распределениях. Журнал Американской статистической ассоциации. 67: 842–846
4. Heathcote CR (1972) Тест согласия для симметричных случайных величин. Австралийский статистический журнал. 14: 172-181
5. Csörg S (1984a) Адаптивная оценка параметров устойчивых законов. В P. Revesz (редактор) Colloquia Mathematica Societatis Янош Бойяи 36. Предельные теоремы в вероятности и статистике. Северная Голландия, Амстердам: стр. 305-368.
6. Ремиллар Б., Теодореску Р. (2001) Оценка на основе эмпирической характеристической функции. В: Балакришнан, Ибрагимов и Невзоров (ред.) Асимптотические методы в вероятности и статистике с приложениями. Birkhäuser, Boston: стр. 435-449.
7. Ю. Дж. (2004) Эмпирическая оценка характеристической функции и ее приложения. Эконометрические обзоры. 23: 93-123
8. Карраско М., Кочони Р. (2017) Эффективная оценка с использованием характеристической функции. Эконометрическая теория. 33: 479-526
9. Csörg S (1984b) Тестирование эмпирической характеристической функцией: обзор. В П. Мандл, М. Гушкова (ред.) Асимптотическая статистика. Elsevier, Амстердам: стр. 45-56.
10. Гушкова М., Мейнтанис С.Г. (2008a) Процедуры тестирования, основанные на эмпирической характеристической функции I: согласие, проверка на симметрию и независимость. Математические публикации в Татрах. 39: 225-233
11. Гушкова М., Мейнтанис С.Г. (2008b) Процедуры тестирования, основанные на эмпирической характеристической функции II: k- проблема с образцом, проблема с разменной точкой. Математические публикации в Татрах. 39: 235-243
12. Мейнтанис С.Г. (2016) Обзор процедур тестирования, основанных на эмпирической характеристической функции (с обсуждением и ответом). Южноафриканский статистический журнал. 50: 1-41
13. Ушаков Н. (1999) Избранные темы характеристических функций. ВСП, Утрехт.
14. Секели Г.Дж., Риццо М., Бакиров Н.К. (2007) Измерение и проверка независимости путем корреляции расстояний. Летопись статистики. 35 (6): 2769–2794
15. Edelmann D, Fokianos K, Pitsillou M (2019) Обновленный обзор литературы о корреляции расстояний и ее приложениях к временным рядам. Международный статистический обзор. 87: 237-262