Модель Эренфеста - Ehrenfest model

В Модель Эренфеста (или же модель собаки-блохи^[1]) из распространение был предложен Татьяна и Поль Эренфест объяснить второй закон термодинамики. Модель учитывает N частицы в двух контейнерах. Частицы самостоятельно меняют контейнер со скоростьюλ. Если Икс(т) = я определяется как количество частиц в одном контейнере за раз т, то это процесс рождения-смерти с переходные ставки

• ${\displaystyle q_{i,i-1}=i\,\lambda }$ за я = 1, 2, ..., N
• ${\displaystyle q_{i,i+1}=(N-i\,)\lambda }$ за я = 0, 1, ..., N – 1

и равновесное распределение ${\displaystyle \pi _{i}=2^{-N}{\tbinom {N}{i}}}$.

Марк Кац в 1947 году доказал, что если начальное состояние системы не является равновесным, то энтропия, данный

${\displaystyle H(t)=-\sum _{i}P(X(t)=i)\log \left({\frac {P(X(t)=i)}{\pi _{i}}}\right),}$

монотонно возрастает (H-теорема ). Это следствие сходимости к равновесному распределению.

Интерпретация результатов

Учтите, что вначале все частицы находятся в одной из емкостей. Ожидается, что со временем количество частиц в этом контейнере приблизится к ${\displaystyle N/2}$ и стабилизируются около этого состояния (в контейнерах будет примерно одинаковое количество частиц). Однако с математической точки зрения возврат в исходное состояние возможен (даже почти наверняка). Из теоремы о возвращении среднего следует, что даже ожидаемое время возврата в начальное состояние конечно, и оно равно ${\displaystyle 2^{N}}$. Используя приближение Стирлинга, можно обнаружить, что если мы начнем с состояния равновесия (равное количество частиц в контейнерах), ожидаемое время, чтобы вернуться в состояние равновесия, асимптотически равно ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\pi N/2}}}$. Если предположить, что частицы меняют контейнеры со скоростью один за секунду, в частном случае ${\displaystyle N=100}$ частиц, начиная с состояния равновесия, ожидается, что возврат к равновесию произойдет в ${\displaystyle 13}$ секунд, при запуске в конфигурации ${\displaystyle 100}$ в одном из контейнеров, ${\displaystyle 0}$ с другой стороны, ожидается, что возврат в это состояние потребует ${\displaystyle 4\cdot 10^{22}}$ годы. Это предполагает, что, хотя теоретически это верно, возврат к исходному крайне непропорциональному состоянию вряд ли будет наблюдаться.

Рекомендации

1. Науэнберг, М. (2004). «Эволюция излучения к тепловому равновесию: разрешимая модель, которая иллюстрирует основы статистической механики». Американский журнал физики. 72 (3): 313–323. arXiv:cond-mat / 0305219. Bibcode:2004AmJPh..72..313N. Дои:10.1119/1.1632488.

• F.P. Келли Обратимость и стохастические сети (Wiley, Chichester, 1979) ISBN  0-471-27601-4 [1] стр. 17–20
• «Модель диффузии Эренфеста». Британская энциклопедия (2008)
• Пол и Татьяна Эренфест. Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem. Physikalische Zeitschrift, vol. 8 (1907), стр. 311–314.