Динамическое подобие (числа Рейнольдса и Уомерсли) - Dynamic similarity (Reynolds and Womersley numbers)

В механика жидкости, динамическое сходство это явление, когда есть два геометрически подобных сосуда (одинаковой формы, разных размеров) с одинаковыми граничными условиями (например, отсутствие проскальзывания, скорость по средней линии) и одинаковыми Рейнольдс и Числа Уомерсли, то потоки жидкости будут идентичными. Это видно из осмотра нижележащих Уравнение Навье-Стокса, с геометрически подобными телами, равными числами Рейнольдса и Уомерсли функции скорости (u ’, v’, w ’) и давления (P’) для любого изменения потока.^[1]

Вывод

Число Рейнольдса и число Уомерсли являются единственными двумя физическими параметрами, необходимыми для решения проблемы течения несжимаемой жидкости. Число Рейнольдса определяется по формуле:

${\displaystyle N_{R}={\tfrac {VL\rho }{\mu }}.\,\!}$

Члены самого уравнения представляют собой следующее:

${\displaystyle N_{R}={{\text{Convective Inertial Force}} \over {\text{Shear Force}}}.\,\!}$.

Когда число Рейнольдса велико, это показывает, что в потоке преобладают конвективные инерционные эффекты; Когда число Рейнольдса невелико, это показывает, что в потоке преобладают эффекты сдвига. Число Уомерсли определяется по формуле:

${\displaystyle N_{W}=L{\sqrt {\tfrac {\omega \rho }{\mu }}}={\sqrt {N_{S}}}\,\!}$,

который представляет собой просто квадратный корень из числа Стокса; члены самого уравнения представляют собой следующее:

${\displaystyle N_{W}={{\text{Transient Inertial Force}} \over {\text{Shear Force}}}.\,\!}$.

Когда число Уомерсли велико (около 10 или больше), оно показывает, что в потоке преобладают колебательные силы инерции и что профиль скорости плоский. Когда параметр Уомерсли низкий, силы вязкости стремятся преобладать над потоком, профили скорости имеют параболическую форму, а скорость по средней линии колеблется в фазе с движущим градиентом давления.^[2]

Начиная с Уравнение Навье – Стокса для декартова потока:

${\displaystyle {\rho }\left({\frac {{\partial }u}{{\partial }t}}+u{\frac {{\partial }u}{{\partial }x}}+v{\frac {{\partial }u}{{\partial }y}}+w{\frac {{\partial }u}{{\partial }z}}\right)={\rho }g-{\frac {{\partial }P}{{\partial }x}}+{\mu }\left({\frac {{\partial ^{2}}u}{{\partial }x^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}v}{{\partial }y^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}w}{{\partial }z^{2}}}\right).\,\!}$.

Члены самого уравнения представляют собой следующее:

${\displaystyle {\text{transient inertial forces + convective inertial forces}}={\text{gravitational force + Pressure force + viscous forces}}.\,\!}$ ^[3]

Пренебрегая гравитационными силами и разделив уравнение на плотность (${\displaystyle \rho }$) дает:

${\displaystyle \left({\frac {{\partial }u}{{\partial }t}}+u{\frac {{\partial }u}{{\partial }x}}+v{\frac {{\partial }u}{{\partial }y}}+w{\frac {{\partial }u}{{\partial }z}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {{\partial }P}{{\partial }x}}+{\nu }\left({\frac {{\partial ^{2}}u}{{\partial }x^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}v}{{\partial }y^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}w}{{\partial }z^{2}}}\right),\,\!}$,

куда ${\displaystyle \nu ={\mu }/{\rho }}$ - кинематическая вязкость. Поскольку и числа Рейнольдса, и числа Уомерсли безразмерны, Навье-Стокса также необходимо представить как безразмерное выражение. Выбор ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \omega }$, и ${\displaystyle L}$ как характеристическая скорость, частота и длина соответственно дают безразмерные переменные: Безразмерный член длины (то же самое для y 'и z'):${\displaystyle x'={x/L}\,\!}$, Термин безразмерной скорости (то же самое для v 'и w'): ${\displaystyle u'={u/V}\,\!}$, Безразмерное давление: ${\displaystyle P'={P/{{\rho }V^{2}}}\,\!}$, Срок безразмерного времени: ${\displaystyle t'=t{\omega }\,\!}$Разделив уравнение Навье-Стокса на ${\displaystyle {\tfrac {V^{2}}{L}}\,\!}$ (Термин конвективная инерционная сила) дает:

${\displaystyle {\frac {{N_{W}}^{2}}{N_{R}}}\left({\frac {{\partial }u'}{{\partial }t'}}\right)+\left(u'{\frac {{\partial }u'}{{\partial }x'}}+v'{\frac {{\partial }u'}{{\partial }y'}}+w'{\frac {{\partial }u'}{{\partial }z'}}\right)=-{\frac {{\partial }P'}{{\partial }x'}}+{\frac {1}{N_{R}}}\left({\frac {{\partial ^{2}}u'}{{\partial }x'^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}v'}{{\partial }y'^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}w'}{{\partial }z'^{2}}}\right)\,\!}$,

С добавлением безразмерного уравнения неразрывности (см. Ниже) в любую задачу о потоке несжимаемой жидкости числа Рейнольдса и Уомерсли являются единственными двумя физическими параметрами, которые входят в эти два уравнения:

${\displaystyle {\frac {{\partial }u'}{{\partial }x'}}+{\frac {{\partial }v'}{{\partial }y'}}+{\frac {{\partial }w'}{{\partial }z'}}=0.\,\!}$,^[4]

Толщина пограничного слоя

Числа Рейнольдса и Уомерсли также используются для расчета толщины пограничные слои которые могут образоваться из-за вязкого воздействия потока жидкости. Число Рейнольдса используется для расчета толщины конвективного инерционного пограничного слоя, который может образоваться, а число Уомерсли используется для расчета толщины переходной инерционной границы, которая может образоваться. Из числа Уомерсли можно показать, что переходная сила инерции представлена ​​выражением ${\displaystyle {\rho }{\omega }V\,\!}$, и из последнего члена в немодифицированном уравнении Навье-Стокса, вязкая сила представлена ​​как ${\displaystyle {\tfrac {\mu V}{\delta _{1}^{2}}}\,\!}$ (нижний индекс один означает, что толщина пограничного слоя равна толщине переходного пограничного слоя). Уравнивание двух сил друг другу дает:${\displaystyle {\rho }{\omega }V={\tfrac {\mu V}{\delta _{1}^{2}}}\,\!}$Решение для ${\displaystyle {\delta }_{1}\,\!}$ дает:${\displaystyle {\delta }_{1}={\sqrt {\tfrac {\mu }{\rho \omega }}}\,\!}$Добавление характеристической длины (L) к обеим сторонам дает соотношение:${\displaystyle {\tfrac {L}{\delta _{1}}}=L{\sqrt {\tfrac {\rho \omega }{\mu }}}=L{\sqrt {\tfrac {\omega }{\nu }}}=N_{W}\,\!}$Следовательно, можно видеть, что, когда поток имеет высокое число Уомерсли, толщина переходного пограничного слоя очень мала по сравнению с характерной длиной, которая для круглых сосудов является радиусом. Как было показано ранее, конвективная инерционная сила представлена ​​членом ${\displaystyle {\tfrac {{\rho }{V^{2}}}{L}}\,\!}$; приравнивая это к члену вязкой силы, получаем:${\displaystyle {\tfrac {{\rho }{V^{2}}}{L}}={\tfrac {{\mu }{V}}{\delta _{2}^{2}}}.\,\!}$Решение для толщины конвективного пограничного слоя дает:${\displaystyle {\delta }_{2}={\sqrt {\tfrac {\mu L}{\rho V}}}.\,\!}$Факторизация характерной длины дает соотношение:${\displaystyle {\tfrac {L}{\delta _{2}}}={\sqrt {\tfrac {\rho VL}{\mu }}}={\sqrt {\tfrac {VL}{\nu }}}={\sqrt {N_{R}}}.\,\!}$Из уравнения видно, что для потока с большим числом Рейнольдса будет соответственно небольшой конвективный пограничный слой по сравнению с характерной длиной судна.^[5] Зная числа Рейнольдса и Уомерсли для данного потока, можно вычислить толщину переходного и конвективного пограничного слоя и связать их с потоком в другой системе. Толщина пограничного слоя также полезна для понимания того, когда жидкость можно рассматривать как идеальную жидкость. Это расстояние превышает толщину обоих пограничных слоев.^[6]

Смотрите также

• Подобие (модель)
• Безразмерный номер

Рекомендации

1. Джонс, Роберт Т. "Кровоток", Ежегодный обзор гидромеханики, 1(1969)223:244.
2. Ку, Дэвид Н. "Кровоток в артериях". Ежегодный обзор гидромеханики, 1(1969)223:44.
3. Фунг, Юань-чэн. «Биомеханика: кровообращение», Динамическое сходство, «Нью-Йорк: Спрингер», 2 (2008) 130: 134.
4. ван де Воссе, Франс М. «Распространение пульсовой волны в артериальном дереве». Ежегодный обзор гидромеханики, 43(2011)467:499.
5. Скалак, Ричард. «Механика биожидкостей», Ежегодный обзор гидромеханики, 21(1989)167:204.
6. Тейлор, М. Г. «Гемодинамика», Ежегодный обзор физиологии, 35(1973)87:116.