Тест Даннетта - Dunnetts test

В статистика, Тест Даннета это множественное сравнение процедура^[1] разработан канадским статистиком Чарльз Даннетт^[2] для сравнения каждой из нескольких обработок с одним контролем.^[3][4] Множественные сравнения с контролем также называются сравнениями «многие к одному».

История

Тест Даннета был разработан в 1955 году;^[5] Обновленная таблица критических значений была опубликована в 1964 году.^[6]

Проблема множественных сравнений

Основная статья: Проблема множественных сравнений

Проблема множественных сравнений, множественности или множественного тестирования возникает, когда один одновременно рассматривает набор статистических выводов или делает вывод о подмножестве параметров, выбранных на основе наблюдаемых значений. Основной проблемой при любом обсуждении процедур множественного сравнения является вопрос о вероятности ошибок типа I. Большинство различий между альтернативными методами связано с разными подходами к вопросу о том, как контролировать эти ошибки. Проблема отчасти техническая; но на самом деле это гораздо более субъективный вопрос о том, как вы хотите определить частоту ошибок и насколько большим вы хотите позволить максимально возможную частоту ошибок.^[7] Тест Даннета хорошо известен и широко используется в процедуре множественного сравнения для одновременного сравнения, посредством интервальной оценки или проверки гипотез, всех активных обработок с контролем при выборке из распределения, в котором допущение нормальности является разумным. частота ошибок в семье на или ниже ${\displaystyle \alpha }$ при выполнении множественных сравнений экспериментальной группы с контролем.^[7]

Использование теста Даннета

Оригинальная работа по проблеме множественных сравнений была сделана Tukey и Шеффе. Их метод был общим, он рассматривал все виды попарных сравнений.^[7] Методы Тьюки и Шеффе позволяют проводить любое количество сравнений среди набора выборочных средних. С другой стороны, тест Даннета сравнивает только одну группу с другими, обращаясь к частному случаю проблемы множественных сравнений - попарному сравнению нескольких групп лечения с одной контрольной группой. В общем случае, когда мы сравниваем каждую из пар, делаем ${\displaystyle k(k-1){\big /}2}$ сравнения (где k - количество групп), но в случае лечения и контроля мы будем делать только ${\displaystyle (k-1)}$ сравнения. Если в случае экспериментальной и контрольной групп мы должны были использовать более общие методы Тьюки и Шеффе, они могли бы привести к излишне широким доверительным интервалам. Тест Даннета учитывает особую структуру сравнения лечения с контролем, что дает более узкие доверительные интервалы.^[5]
Очень часто тест Даннета используется в медицинских экспериментах, например, для сравнения результатов анализа крови у трех групп животных, одна из которых служила контролем, а две другие принимали два разных препарата. Другой распространенный метод использования этого метода - агрономы: агрономы могут захотеть изучить влияние определенных химикатов, добавленных в почву, на урожай, поэтому они оставят некоторые участки без обработки (контрольные участки) и сравнят их с участками, на которых были добавлены химикаты. почва (участки обработки).

Формальное описание теста Даннета

Тест Даннета выполняется путем вычисления T-статистика Стьюдента для каждой экспериментальной или лечебной группы, где статистика сравнивает экспериментальную группу с одной контрольной группой.^[8][9] Поскольку каждое сравнение имеет общий элемент управления, процедура включает зависимости между этими сравнениями. В частности, все t-статистики выводятся из одной и той же оценки дисперсии ошибок, которая получается путем объединения сумм квадратов ошибок по всем (экспериментальной и контрольной) группам. Формальная статистика теста для теста Даннета является либо наибольшей по абсолютной величине этой t-статистики (если требуется двусторонний критерий), либо наиболее отрицательной или наиболее положительной из t-статистики (если односторонний критерий является требуется).

В тесте Даннета мы можем использовать общую таблицу критических значений, но в настоящее время более гибкие параметры доступны во многих статистических пакетах, таких как р. Критические значения для любой заданной процентной точки зависят от того, выполняется ли односторонний или двусторонний тест; количество сравниваемых групп; общее количество испытаний.

Предположения

Анализ рассматривает случай, когда результаты эксперимента являются числовыми, и эксперимент проводится для сравнения p обработок с контрольной группой. Результаты можно обобщить в виде набора ${\displaystyle (p+1)}$ вычисленные средние по множествам наблюдений, ${\displaystyle ({\bar {X_{0}}},...,{\bar {X_{p}}})}$, пока ${\displaystyle ({\bar {X_{1}}},...,{\bar {X_{p}}})}$ относятся к лечению и ${\displaystyle {\bar {X_{0}}}}$ относится к контрольному набору наблюдений, и ${\displaystyle s}$ независимая оценка общего стандартного отклонения всех ${\displaystyle p+1}$ наборы наблюдений. Все ${\displaystyle {\bar {X_{i}}}}$ из ${\displaystyle p+1}$ предполагается, что наборы наблюдений будут независимо и нормально распределены с общим отклонение ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ и означает ${\displaystyle \mu _{i}}$. Также есть предположение, что есть доступная оценка ${\displaystyle s^{2}}$ за ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Расчет

Расчет теста Даннета - это процедура, основанная на вычислении утверждений о достоверности истинных или ожидаемых значений ${\displaystyle p}$ различия ${\displaystyle {\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}}$, таким образом, разница между средним значением экспериментальной группы и средним значением контрольной группы. Эта процедура гарантирует, что вероятность всех ${\displaystyle p}$ заявления ${\displaystyle {\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}}$ быть одновременно правильным равно заданному значению,${\displaystyle P}$. При расчете одностороннего верхнего (или нижнего) Доверительный интервал для истинного значения разницы между средним значением лечения и контрольная группа, ${\displaystyle P}$ представляет собой вероятность того, что это фактическое значение будет меньше верхнего (или больше нижнего) предела этого интервала. При расчете двустороннего доверительный интервал, ${\displaystyle P}$ представляет собой вероятность того, что истинное значение будет между верхним и нижним пределами.

Во-первых, мы обозначим доступные N наблюдений через ${\displaystyle X_{ij}}$ когда ${\displaystyle i=1...p}$ и ${\displaystyle j=1...N_{i}}$ и оценить общие отклонение например:${\displaystyle s^{2}={\frac {\sum _{i=0}^{p}\sum _{j=1}^{N_{i}}(X_{ij}-{\bar {X_{i}}})^{2}}{n}}}$ когда ${\displaystyle {\bar {X_{i}}}}$ среднее значение группы ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle N_{i}}$ количество наблюдений в группе ${\displaystyle i}$, и ${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{p}N_{i}-(p+1)}$ степени свободы. Как упоминалось ранее, мы хотели бы получить отдельные доверительные интервалы для каждого из различий. ${\displaystyle m_{i}-m_{0},(i=1...p)}$ такая, что вероятность того, что все ${\displaystyle p}$ доверительные интервалы будут содержать соответствующие ${\displaystyle m_{i}-m_{0}}$ равно ${\displaystyle P}$.

Мы будем рассматривать общий случай, когда есть ${\displaystyle p}$ группы лечения и одна контрольная группа. Напишем:

${\displaystyle z_{i}={\cfrac {{\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}-(m_{i}-m_{0})}{\sqrt {{\cfrac {1}{N_{i}}}+{\cfrac {1}{N_{0}}}}}}}$

${\displaystyle D_{i}={\cfrac {{\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}-(m_{i}-m_{0})}{s{\sqrt {{\cfrac {1}{N_{i}}}+{\cfrac {1}{N_{0}}}}}}}}$

мы также напишем: ${\displaystyle D_{i}={\frac {z_{i}}{s}}}$, который следует за T-статистика Стьюдента распределение с n степени свободы. Нижние доверительные границы с совместным доверительным коэффициентом ${\displaystyle P}$ для ${\displaystyle p}$ эффекты лечения ${\displaystyle m_{i}-m_{0},(i=1...p)}$ будет выдан:

${\displaystyle {\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}-d_{i}'s{\sqrt {{\frac {1}{N_{i}}}+{\frac {1}{N_{0}}}}},i=1...p}$

и ${\displaystyle p}$ константы ${\displaystyle d_{i}'}$ выбраны так, чтобы ${\displaystyle Prob(t_{1}<d_{1}',...,t_{p}<d_{p}')=P}$. Аналогично, верхние пределы будут определяться:

${\displaystyle {\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}+d_{i}'s{\sqrt {{\frac {1}{N_{i}}}+{\frac {1}{N_{0}}}}},i=1...p}$

Для ограничения ${\displaystyle m_{i}-m_{0}}$ в обоих направлениях можно взять следующий интервал:

${\displaystyle {\bar {X_{i}}}-{\bar {X_{0}}}\pm d_{i}''s{\sqrt {{\frac {1}{N_{i}}}+{\frac {1}{N_{0}}}}},i=1...p}$

когда ${\displaystyle d_{i}''}$ выбраны для удовлетворения ${\displaystyle Prob(|t_{1}|<d_{1}',...,|t_{p}|<d_{p}')=P}$.Решение этих конкретных значений ${\displaystyle d_{i}''}$ для двустороннего теста и ${\displaystyle d_{i}'}$ для одностороннего теста приведено в таблицах.^[5] Обновленная таблица критических значений была опубликована в 1964 году.^[6]

Примеры

Прочность ткани на разрыв^[5]

Следующий пример был адаптирован из примера Вилларса [6]. Данные представляют собой измерения прочности на разрыв ткани, обработанной тремя различными химическими процессами по сравнению со стандартным способом производства.

прочность на разрыв (фунты)

	стандарт	процесс 1	процесс 2	процесс 3
	55	55	55	50
	47	64	49	44
	48	64	52	41
Средства	50	61	52	45
Дисперсия	19	27	9	21

Здесь p = 3 и N = 3. Средняя дисперсия составляет ${\displaystyle s^{2}=19}$, которая представляет собой оценку общей дисперсии четырех наборов с (p + 1) (N-1) = 8 степенями свободы, которую можно вычислить следующим образом:

${\displaystyle {\frac {55^{2}+47^{2}+48^{2}+55^{2}+...+41^{2}-3(50^{2}+61^{2}+52^{2}+45^{2})}{8}}={\frac {152}{8}}=19}$.

Стандартное отклонение составляет ${\displaystyle s={\sqrt {19}}=4.36}$ и расчетная стандартная ошибка разницы между двумя средними значениями равна ${\displaystyle s{\sqrt {\frac {2}{N}}}=4.36{\sqrt {\frac {2}{N}}}=3.56}$.

Количество, которое должно быть добавлено и / или вычтено из наблюдаемых различий между средствами, чтобы дать их доверительные границы, было названо Тьюки «допуском» и выражается формулой ${\displaystyle A=ts{\sqrt {\frac {2}{N}}}}$, где t взят из Многомерное t-распределение, или может быть получено из таблицы Даннета 1, если желательны односторонние ограничения, или из таблицы Даннета 2, если требуются двусторонние ограничения. Для p = 3 и df = 8, t = 2,42 для односторонних ограничений и t = 2,88 для двух- сторонние пределы для p = 95%. Аналогичные значения t могут быть определены из таблиц, если требуется p = 99% достоверности. Для односторонних пределов допуск составляет A = (2,42) (3,56) = 9, и экспериментатор может сделать вывод, что:

• Прочность на разрыв при использовании процесса 1 превышает стандарт как минимум на ${\displaystyle 61-50-9=2lbs.}$
• Прочность на разрыв при использовании процесса 2 превышает стандарт как минимум на ${\displaystyle 52-50-9=-7lbs}$.
• Прочность на разрыв при использовании процесса 3 превышает стандарт как минимум на ${\displaystyle 45-50-9=-14lbs}$.

Совместное заявление, состоящее из трех вышеупомянутых выводов, имеет коэффициент уверенности 95%, т.е. в долгосрочной перспективе 95% таких совместных заявлений действительно будут правильными. Аналогичным образом можно получить верхние пределы для трех различий. Для двусторонних пределов допуск составляет A = (2,94) (3,56) = 11, и экспериментатор может заключить, что:

• Прочность на разрыв при использовании процесса 1 превышает стандарт на величину между

${\displaystyle 61-50-11=0lbs.}$ и ${\displaystyle 61-50+11=22lbs.}$

• Прочность на разрыв при использовании процесса 2 превышает стандарт на величину между

${\displaystyle 52-50-11=-9lbs}$ и ${\displaystyle 52-50+11=13lbs}$.

• Прочность на разрыв при использовании процесса 3 превышает стандарт на величину между

${\displaystyle 45-50-11=-16lbs}$ и ${\displaystyle 45-50+11=6lbs}$Совместный коэффициент достоверности для этих трех утверждений превышает 95% (из-за приближения, сделанного при вычислении таблиц 2a и 2b, табличные значения t несколько больше, чем необходимо, так что фактические достигнутые значения p немного больше 95 и 99%. При расчетах таблиц 1а и 1б такое приближение не производилось.

Рекомендации

1. Аптон Г. и Кук И. (2006). Статистический словарь, 2e, Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания.
2. Рамси, Дебора (2009-08-19). Статистика II для чайников. Вайли. п.186. Получено 2012-08-22. тест Даннета, разработанный.
3. Эверетт Б. С. и Шрондал А. (2010 г.) Кембриджский статистический словарь, 4e, Cambridge University Press, Кембридж, Соединенное Королевство.
4. «Статистическое программное обеспечение | Информационные технологии Университета Кентукки». Uky.edu. Архивировано из оригинал в 2012-07-31. Получено 2012-08-22.
5. Даннетт К. У. (1955). «Процедура множественного сравнения для сравнения нескольких обработок с контролем». Журнал Американской статистической ассоциации. 50: 1096–1121. Дои:10.1080/01621459.1955.10501294.
6. Даннетт К. У. (1964) «Новые таблицы для множественных сравнений с контролем», Биометрия, 20:482–491.
7. Дэвид К. Хауэлл, "Статистические методы психологии", 8-е изд.
8. Тест Даннета, HyperStat Online: вводный учебник по статистике и онлайн-руководство для помощи в курсах статистики
9. Механика различных тестов - Биостатистика BI 345 В архиве 01.06.2010 на Wayback Machine, Колледж Святого Ансельма