Двойной интегратор - Double integrator

В системы и теория управления, то двойной интегратор является каноническим примером второго порядка система контроля.^[1] Он моделирует динамику простой массы в одномерном пространстве под действием изменяющейся во времени силы. ${\displaystyle {\textbf {u}}}$.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения, которые представляют двойной интегратор:

${\displaystyle {\ddot {q}}=u(t)}$

${\displaystyle y=q(t)}$

где оба ${\displaystyle q(t),u(t)\in \mathbb {R} }$Давайте теперь представим это в форме пространства состояний с вектором ${\displaystyle {\textbf {x(t)}}={\begin{bmatrix}q\\{\dot {q}}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\begin{bmatrix}{\dot {q}}\\{\ddot {q}}\\\end{bmatrix}}}$

В этом представлении ясно, что управляющий вход ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ это вторая производная от вывода ${\displaystyle {\textbf {x}}}$. В скалярной форме управляющий вход - это вторая производная выходного сигнала. ${\displaystyle q}$

Представление в пространстве состояний

Нормализованная модель двойного интегратора в пространстве состояний принимает вид

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t).}$

Согласно этой модели, вход ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ это вторая производная от вывода ${\displaystyle {\textbf {y}}}$, отсюда и название двойной интегратор.

Представление передаточной функции

Принимая Преобразование Лапласа уравнения ввода-вывода в пространстве состояний, мы видим, что функция передачи двойного интегратора имеет вид

${\displaystyle {\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{s^{2}}}.}$

Используя дифференциальные уравнения, зависящие от ${\displaystyle q(t),y(t),u(t)}$ и ${\displaystyle {\textbf {x(t)}}}$, и представление в пространстве состояний:

Рекомендации

1. Венкатеш Г. Рао и Деннис С. Бернштейн (2001). «Наивное управление двойным интегратором» (PDF). Журнал IEEE Control Systems. Получено 2012-03-04.