Лемма Дуба – Дынкина. - Doob–Dynkin lemma

В теория вероятности, то Лемма Дуба – Дынкина., названный в честь Джозеф Л. Дуб и Евгений Дынкин, характеризует ситуацию, когда один случайная переменная является функцией другого включение из ${\displaystyle \sigma }$-алгебры генерируется случайными величинами. Обычная формулировка леммы формулируется в терминах одной случайной величины: измеримый с уважением к ${\displaystyle \sigma }$-алгебра, порожденная другим.

Лемма играет важную роль в условное ожидание в теории вероятностей, где это позволяет заменить обусловливание на случайная переменная путем кондиционирования ${\displaystyle \sigma }$-алгебра то есть генерируется по случайной величине.

Обозначения и вводные замечания

В лемме ниже ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{+\infty \}}$ это расширенная строка действительных чисел, и ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\overline {\mathbb {R} }})}$ это ${\displaystyle \sigma }$-алгебра Наборы Бореля на ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}.}$Обозначение ${\displaystyle g:(X,{\mathcal {X}})\rightarrow (Y,{\mathcal {Y}})}$ указывает, что ${\displaystyle g}$ это функция от ${\displaystyle X}$ к ${\displaystyle Y,}$ и это ${\displaystyle g}$ измерим относительно ${\displaystyle \sigma }$-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {Y}}.}$

Кроме того, если ${\displaystyle T:X\to Y,}$ и ${\displaystyle (Y,{\mathcal {Y}})}$ это измеримое пространство, мы определяем

${\displaystyle \sigma (T)=\{T^{-1}(S)\mid S\in {\mathcal {Y}}\}.}$

Легко проверить, что ${\displaystyle \sigma (T)}$ минимальный ${\displaystyle \sigma }$-алгебра на ${\displaystyle X}$ под которым ${\displaystyle T}$ измеримо, т.е.

${\displaystyle T:(X,\sigma (T))\to (Y,{\mathcal {Y}}).}$

Утверждение леммы

Позволять ${\displaystyle T:\Omega \rightarrow \Omega '}$ быть функцией из множества ${\displaystyle \Omega }$ в измеримое пространство ${\displaystyle (\Omega ',{\mathcal {A}}'),}$ и ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$ является ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$-измеримый. Далее, пусть ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$ - скалярная функция на ${\displaystyle \Omega }$. потом ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle \sigma (T)}$-измерима тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f=g\circ T,}$ для некоторой измеримой функции ${\displaystyle g:(\Omega ',{\mathcal {A}}')\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\overline {\mathbb {R} }})).}$

Примечание. Часть «если» просто заявляет, что композиция двух измеримых функций измерима. Часть «только если» доказана ниже.

Доказательство.

Позволять ${\displaystyle f}$ быть ${\displaystyle \sigma (T)}$-измеримый. Шаг 1: предположим, что ${\displaystyle f}$ это простая функция, т.е. ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}},}$ для некоторых непустых попарно непересекающихся множеств ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$ из ${\displaystyle \sigma (T).}$ Если ${\displaystyle A_{i}=T^{-1}(A_{i}'),}$ тогда функция ${\displaystyle g=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f_{i}\,\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}'}}$ соответствует требованиям. Шаг 2: если ${\displaystyle f\geq 0}$, тогда ${\displaystyle f}$ поточечный предел неубывающей последовательности ${\displaystyle f_{n}}$ простых функций (см. статью о простые функции для доказательства). Шаг 1 гарантирует, что ${\displaystyle f_{n}=g_{n}\circ T.}$ Это равенство, в свою очередь, означает, что последовательность ${\displaystyle g_{n}(x)}$ не убывает, пока ${\displaystyle x\in \operatorname {Im} T,}$ так что функция ${\displaystyle {\widetilde {g}}(x)=\lim _{n\to \infty }g_{n}(x)}$ корректно определено (конечное или бесконечное) для каждого ${\displaystyle x\in \operatorname {Im} T.}$ Как поточечный предел измеримой ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$-значные функции, ${\displaystyle {\widetilde {g}}}$ само по себе измеримо (см. статью о измеримые функции ). Определять ${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\widetilde {g}}(x)&\quad {\text{if }}x\in \operatorname {Im} T\\[1mm]0&\quad {\text{if }}x\notin \operatorname {Im} T.\end{cases}}}$ Измеримость ${\displaystyle g}$ основан на предположении, что ${\displaystyle \operatorname {Im} T\in {\mathcal {A}}'.}$ Таким образом, ${\displaystyle g}$ соответствует требованиям. Шаг 3: каждая измеримая функция ${\displaystyle f}$ есть разница его положительной и отрицательной частей, т.е. ${\displaystyle f=f^{+}-f^{-},}$ где оба ${\displaystyle f^{+}}$ и ${\displaystyle f^{-}}$ измеримы и неотрицательны. Шаг 2 гарантирует, что ${\displaystyle f^{+}=g^{+}\circ T}$ и ${\displaystyle f^{-}=g^{-}\circ T.}$ Определять ${\displaystyle g(x)={\begin{cases}g^{+}(x)-g^{-}(x)&\quad {\text{if }}x\in \operatorname {Im} T\\[1mm]0&\quad {\text{if }}x\notin \operatorname {Im} T.\end{cases}}}$ Поскольку невозможно, чтобы ${\displaystyle f^{+}(x)>0}$ и ${\displaystyle f^{-}(x)>0}$ для того же ${\displaystyle x,}$ равенство ${\displaystyle g^{+}(x)=g^{-}(x)=\infty }$ никогда не выполняется, и, следовательно, ${\displaystyle g}$ хорошо определено. Являясь разницей двух измеримых функций, ${\displaystyle g^{+}-g^{-}}$ также измеримо. С ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$ измеримо, так же ${\displaystyle g.}$ Таким образом, ${\displaystyle g}$ соответствует требованиям.

По определению, ${\displaystyle f}$ существование ${\displaystyle \sigma (T)}$-измеримый такой же как ${\displaystyle f^{-1}(S)\in \sigma (T)}$ для каждого набора Бореля ${\displaystyle S}$, что совпадает с ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (T)}$. Итак, лемму можно переписать в следующей эквивалентной форме.

Лемма. Позволять ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle T}$ быть как указано выше. потом ${\displaystyle f=g\circ T,}$ для некоторой борелевской функции ${\displaystyle g,}$ если и только если ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (T)}$.

Смотрите также

• Условное ожидание

Рекомендации

• А. Бобровский: Функциональный анализ вероятностных и случайных процессов: введение, Издательство Кембриджского университета (2005 г.), ISBN  0-521-83166-0
• М. М. Рао, Р. Дж. Свифт: Теория вероятностей с приложениями, Математика и ее приложения, т. 582, Springer-Verlag (2006), ISBN  0-387-27730-7 Дои:10.1007/0-387-27731-5