Дискретизация уравнений Навье – Стокса. - Discretization of Navier–Stokes equations

Дискретность из Уравнения Навье – Стокса представляет собой переформулировку уравнений таким образом, чтобы их можно было применить к вычислительная гидродинамика. Могут применяться несколько методов дискретизации.

Метод конечных объемов

Несжимаемый поток

Начнем с несжимаемой формы уравнения импульса. Уравнение разделено на плотность (P = p / ρ) и плотность была поглощена в члене объемной силы.

${ displaystyle { frac { partial u_ {i}} { partial t}} + { frac { partial u_ {i} u_ {j}} { partial x_ {j}}} = - { frac { partial P} { partial x_ {i}}} + nu { frac { partial ^ {2} u_ {i}} { partial x_ {j} partial x_ {j}}} + f_ { я}}$

Уравнение интегрируется по контрольному объему вычислительной ячейки.

${ displaystyle iiint _ {V} left [{ frac { partial u_ {i}} { partial t}} + { frac { partial u_ {i} u_ {j}} { partial x_ { j}}} right] dV = iiint _ {V} left [- { frac { partial P} { partial x_ {i}}} + nu { frac { partial ^ {2} u_ {i}} { partial x_ {j} partial x_ {j}}} + f_ {i} right] dV}$

Член, зависящий от времени, и член объемной силы считаются постоянными по всему объему ячейки. В теорема расходимости применяется к условиям адвекции, градиента давления и диффузии.

${ displaystyle { frac { partial u_ {i}} { partial t}} V + iint _ {A} u_ {i} u_ {j} n_ {j} dA = - iint _ {A} Pn_ { i} dA + iint _ {A} nu { frac { partial u_ {i}} { partial x_ {j}}} n_ {j} dA + f_ {i} V}$

куда п нормаль к поверхности контрольного объема и V это объем. Если контрольный объем представляет собой многогранник и значения предполагаются постоянными для каждой грани, интегралы площадей могут быть записаны как суммы для каждой грани.

${ displaystyle { frac { partial u_ {i}} { partial t}} V + sum _ {nbr} left (u_ {i} u_ {j} n_ {j} A right) _ {nbr} = - sum _ {nbr} left (Pn_ {i} A right) _ {nbr} + sum _ {nbr} left ( nu { frac { partial u_ {i}} { partial x_ {j}}} n_ {j} A right) _ {nbr} + f_ {i} V}$

где нижний индекс номер обозначает стоимость на любой грани.

Двумерная декартова сетка с равномерными интервалами

Для двумерной декартовой сетки уравнение может быть расширено до

${ displaystyle { begin {align} & { frac { partial u_ {i}} { partial t}} Delta x Delta y- left (u_ {i} u Delta y right) _ { w} + left (u_ {i} u Delta y right) _ {e} - left (u_ {i} v Delta x right) _ {s} + left (u_ {i} v Delta x right) _ {n} = & - left (Pn_ {i} Delta y right) _ {w} - left (Pn_ {i} Delta y right) _ {e} - left (Pn_ {i} Delta x right) _ {s} - left (Pn_ {i} Delta x right) _ {n} & - left ( nu { frac { partial u_ {i}} { partial x}} Delta y right) _ {w} + left ( nu { frac { partial u_ {i}} { partial x}} Delta y right) _ {e} - left ( nu { frac { partial u_ {i}} { partial y}} Delta x right) _ {s} + left ( nu { frac { partial u_ {i}} { partial y}} Delta x right) _ {n} + f_ {i} end {align}}}$

На шахматная сетка, уравнение x-импульса имеет вид

${ displaystyle { begin {align} & { frac { partial u} { partial t}} Delta x Delta y- left (uu Delta y right) _ {w} + left (uu Delta y right) _ {e} - left (uv Delta x right) _ {s} + left (uv Delta x right) _ {n} = & + left (P Delta y right) _ {w} - left (P Delta y right) _ {e} - left ( nu { frac { partial u} { partial x}} Delta y right) _ {w} + left ( nu { frac { partial u} { partial x}} Delta y right) _ {e} - left ( nu { frac { partial u} { частичный y}} Delta x right) _ {s} + left ( nu { frac { partial u} { partial y}} Delta x right) _ {n} + f_ {x} конец {выровнен}}}$

а уравнение y-импульса имеет вид

${ displaystyle { begin {align} & { frac { partial v} { partial t}} Delta x Delta y- left (vu Delta y right) _ {w} + left (vu Delta y right) _ {e} - left (vv Delta x right) _ {s} + left (vv Delta x right) _ {n} = & + left (P Delta x right) _ {s} - left (P Delta x right) _ {n} - left ( nu { frac { partial v} { partial x}} Delta y right) _ {w} + left ( nu { frac { partial v} { partial x}} Delta y right) _ {e} - left ( nu { frac { partial v} { частичный y}} Delta x right) _ {s} + left ( nu { frac { partial v} { partial y}} Delta x right) _ {n} + f_ {y} конец {выровнен}}}$

На этом этапе цель состоит в том, чтобы определить выражения для номиналов для ты, v, и п и аппроксимировать производные с помощью конечная разница приближения. В этом примере мы будем использовать обратную разницу для производной по времени и центральную разницу для пространственных производных. Для обоих уравнений импульса производная по времени принимает вид

${ displaystyle { frac { partial u_ {i}} { partial t}} = { frac {u_ {i} ^ {n} -u_ {i} ^ {n-1}} { Delta t} }}$

куда п это текущий индекс времени и Δt это временной шаг. В качестве примера для пространственных производных производная в члене диффузии западной грани в уравнении x-импульса становится

${ displaystyle left ({ frac { partial u} { partial x}} right) _ {w} = { frac {u_ {I, J} -u_ {I-1, J}} { Дельта x}}}$

куда я и J являются индексами интересующей ячейки с x-импульсом.