Дифференциальное вариационное неравенство - Differential variational inequality

В математике дифференциально-вариационное неравенство (DVI) это динамическая система который включает обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационные неравенства или же проблемы комплементарности.

DVI полезны для представления моделей, включающих как динамику, так и неравенство ограничения. Примеры таких проблем включают, например, проблемы механического удара, электрические схемы с идеальный диоды, Кулоновское трение проблемы для контакта с телами, а также динамические экономические и связанные с ними проблемы, такие как сети с динамическим трафиком и сети очередей (где ограничениями могут быть либо верхние пределы длины очереди, либо длина очереди не может стать отрицательной). DVI связаны с рядом других концепций, включая дифференциальные включения, проектируемые динамические системы, эволюционное неравенство, и параболические вариационные неравенства.

Впервые дифференциальные вариационные неравенства были официально введены Панг и Стюарт, определение которого не следует путать с дифференциальным вариационным неравенством, используемым Обеном и Челлиной (1984).

Дифференциальные вариационные неравенства имеют вид ${displaystyle u(t)in K}$ такой, что

${displaystyle langle v-u(t),F(t,x(t),u(t))angle geq 0}$

для каждого ${displaystyle vin K}$ и почти все т; K замкнутое выпуклое множество, где

${displaystyle {frac {dx}{dt}}=f(t,x(t),u(t)),quad x(t_{0})=x_{0}.}$

С DVI тесно связаны проблемы динамической / дифференциальной дополнительности: если K замкнутый выпуклый конус, то вариационное неравенство эквивалентно проблема дополнительности:

${displaystyle Ki u(t)quad perp quad F(t,x(t),u(t))in K^{*}.}$

Примеры

Механический контакт

Рассмотрим жесткий шар радиуса ${displaystyle r}$ падение с высоты на стол. Предположим, что силы, действующие на мяч, - это сила тяжести и силы контакта стола, препятствующие проникновению. Тогда дифференциальное уравнение, описывающее движение, имеет вид

${displaystyle m{frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-mg+N(t)}$

куда ${displaystyle m}$ масса шара и ${displaystyle N(t)}$ - контактное усилие стола, а ${displaystyle g}$ - ускорение свободного падения. Обратите внимание, что оба ${displaystyle y(t)}$ и ${displaystyle N(t)}$ находятся априори неизвестный. Пока мяч и стол разделены, контактное усилие отсутствует. Пробития быть не может (для жесткого шара и жесткого стола), поэтому ${displaystyle y(t)-rgeq 0}$ для всех ${displaystyle t}$. Если ${displaystyle y(t)-r>0}$ тогда ${displaystyle N(t)=0}$. С другой стороны, если ${displaystyle y(t)-r=0}$, тогда ${displaystyle N(t)}$ может принимать любое неотрицательное значение. (Мы не разрешаем ${displaystyle N(t)<0}$ так как это соответствует некоторому виду клея.) Это можно резюмировать соотношением дополнительности

${displaystyle 0leq y(t)-rquad perp quad N(t)geq 0.}$

В приведенной выше формулировке мы можем установить ${displaystyle K={,zmid zgeq 0,}}$, так что его двойной конус ${displaystyle K^{*}=K}$ также набор неотрицательных действительных чисел; это проблема дифференциальной дополнительности.

Идеальные диоды в электрических цепях

Идеальный диод - это диод, который проводит электричество в прямом направлении без сопротивления, если приложено прямое напряжение, но не позволяет току течь в обратном направлении. Тогда если обеспечить регресс напряжение ${displaystyle v(t)}$, а прямой ток ${displaystyle i(t)}$, то между ними существует взаимосвязь:

${displaystyle 0leq v(t)quad perp quad i(t)geq 0}$

для всех ${displaystyle t}$. Если диод находится в цепи, содержащей элемент памяти, такой как конденсатор или катушка индуктивности, то схему можно представить как дифференциальное вариационное неравенство.

Индекс

Концепция индекс DVI важен и определяет многие вопросы существования и уникальности решений DVI. Эта концепция тесно связана с концепцией индекса для дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ), то есть количество раз, когда алгебраические уравнения ДАУ должны быть дифференцированы, чтобы получить полную систему дифференциальных уравнений для всех переменных. Это также понятие, близкое к относительной степени теории управления, которая, грубо говоря, представляет собой количество раз, когда «выходная» переменная должна быть дифференцирована, чтобы «входная» переменная явно появлялась в теории управления, которая используется для получения каноническая форма пространства состояний, которая включает в себя так называемую «нулевую динамику», фундаментальную концепцию управления). Для DVI индекс - это количество дифференцирований F(т, Икс, ты) = 0 необходимо для того, чтобы локально однозначно идентифицировать ты как функция т иИкс.

Этот индекс можно вычислить для приведенных выше примеров. Для примера механического удара, если мы различим ${displaystyle y(t)}$ как только у нас есть ${displaystyle dy/dt(t)}$, который еще явно не включает ${displaystyle N(t)}$. Однако, если мы продифференцируем еще раз, мы можем использовать дифференциальное уравнение, чтобы дать ${displaystyle d^{2}y/dt^{2}=(1/m)[-mg+N(t)]}$, который явно включает ${displaystyle N(t)}$. Кроме того, если ${displaystyle d^{2}y/dt^{2}=b(t)}$, мы можем явно определить ${displaystyle N(t)}$ с точки зрения ${displaystyle b(t)}$.

Для идеальных диодных систем вычисления значительно сложнее, но при соблюдении некоторых общепринятых условий можно показать, что дифференциальное вариационное неравенство имеет индекс один.

Дифференциальные вариационные неравенства с индексом больше двух обычно не имеют смысла, но определенные условия и интерпретации могут сделать их значимыми (см. Ссылки Акари, Броглиато и Гелевен, а также Хемельс, Шумахер и Вейланд ниже). Одним из важных шагов является определение подходящего пространства решений (распределений Шварца).

Рекомендации

• Панг и Стюарт (2008) "Дифференциальные вариационные неравенства", Математическое программирование, т. 113, нет. 2, Series A, 345–424.
• Обен и Челлина (1984) Дифференциальные включения Springer-Verlag.
• Acary, Brogliato и Goeleven (2006) «Процесс подметания Моро высшего порядка. Математическая формулировка и численная формулировка», Mathematical Programming A, 113, 133-217, 2008.
• Ави Мандельбаум (1989) "Проблемы динамической дополнительности", неопубликованная рукопись.
• Хемельс, Шумахер и Вейланд (2000) "Системы линейной дополнительности", SIAM Journal on Applied Mathematics, vol. 60, нет. 4, 1234–1269.