Теорема де Гуаса - De Guas theorem

тетраэдр с прямым углом в O

Теорема де Гуа является трехмерным аналогом теорема Пифагора и назван в честь Жан Поль де Гуа де Мальв.

Если тетраэдр имеет прямой угол (как угол куб ), то квадрат площади грани напротив прямого угла равен сумме квадратов площадей трех других граней.

${\displaystyle A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}}$

Обобщения

В теорема Пифагора и теорема де Гуа - частные случаи (п = 2, 3) общая теорема о п-симплексы с прямой угол угол. Это, в свою очередь, частный случай еще более общая теорема Дональда Р. Конанта и Уильяма А. Бейера,^[1] что можно сформулировать следующим образом.

Позволять U быть измеримый подмножество k-размерный аффинное подпространство из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (так ${\displaystyle k\leq n}$). Для любого подмножества ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ с точно k элементы, пусть ${\displaystyle U_{I}}$ быть ортогональная проекция из U на линейный пролет из ${\displaystyle e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}}$, куда ${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ и ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ это стандартная основа за ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. потом

${\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}^{2}(U)=\sum _{I}{\mbox{vol}}_{k}^{2}(U_{I}),}$

куда ${\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}(U)}$ это k-размерный объем из U и сумма берется по всем подмножествам ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ с точно k элементы.

Теорема Де Гуа и ее обобщение (см. Выше) на п-симплексы с прямыми углами соответствуют частному случаю, когда k = п−1 и U является (п−1) -симплекс в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с вершинами на оси координат. Например, предположим п = 3, k = 2 и U это треугольник ${\displaystyle \triangle ABC}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с вершинами А, B и C лежа на ${\displaystyle x_{1}}$-, ${\displaystyle x_{2}}$- и ${\displaystyle x_{3}}$-axes соответственно. Подмножества ${\displaystyle I}$ из ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ с ровно 2 элементами ${\displaystyle \{2,3\}}$, ${\displaystyle \{1,3\}}$ и ${\displaystyle \{1,2\}}$. По определению, ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ ортогональная проекция ${\displaystyle U=\triangle ABC}$ на ${\displaystyle x_{2}x_{3}}$-самолет, так что ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ это треугольник ${\displaystyle \triangle OBC}$ с вершинами О, B и C, куда О это источник из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. По аналогии, ${\displaystyle U_{\{1,3\}}=\triangle AOC}$ и ${\displaystyle U_{\{1,2\}}=\triangle ABO}$, поэтому теорема Конанта – Бейера говорит

${\displaystyle {\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABC)={\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle OBC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle AOC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABO),}$

что является теоремой де Гуа.

Обобщение теоремы де Гуа на п-симплексы с прямыми углами также могут быть получены как частный случай из Формула детерминанта Кэли-Менгера .

История

Жан Поль де Гуа де Мальв (1713–1785) опубликовал теорему в 1783 году, но примерно в то же время другой французский математик опубликовал несколько более общую версию: Шарль де Тинсо д'Амонданс (1746–1818), а также. Однако теорема также была известна гораздо раньше. Иоганн Фаульхабер (1580–1635) и Рене Декарт (1596–1650).^[2][3]

Примечания

1. Дональд Р. Конант и Уильям А. Бейер (март 1974 г.). «Обобщенная теорема Пифагора». Американский математический ежемесячник. Математическая ассоциация Америки. 81 (3): 262–265. Дои:10.2307/2319528. JSTOR  2319528.
2. Вайсштейн, Эрик В. "Теорема де Гуа". MathWorld.
3. Ховард Уитли Ивс: Великие моменты в математике (до 1650 г.). Математическая ассоциация Америки, 1983 г., ISBN  9780883853108, С. 37 (выдержка, п. 37, в Google Книги )

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема де Гуа". MathWorld.
• Серхио А. Альварес: Замечание о n-мерной теореме Пифагора, Университет Карнеги Меллон.
• Теорема Де Гуа, теорема Пифагора в трехмерном пространстве - Графическая иллюстрация и связанные свойства тетраэдра.

дальнейшее чтение

• Хейфиц, Александр (2004). «Теорема косинусов для пирамид». Математический журнал колледжа. Математическая ассоциация Америки. 35 (5): 385–388. JSTOR  4146849. Доказательство теоремы де Гуа и обобщений на произвольные тетраэдры и пирамиды.
• Леви-Леблон, Жан-Марк (2020). «Теорема косинусов для пирамид». Математический интеллект. SpringerLink. Применение теоремы де Гуа для доказательства частного случая Формула Герона.