Теорема де Бранжа - de Brangess theorem

В комплексный анализ, теорема де Бранжа, или Гипотеза Бибербаха, это теорема, которая дает необходимое условие на голоморфная функция для того, чтобы отобразить открытый единичный диск из комплексная плоскость инъективно в комплексную плоскость. Это было поставлено Людвиг Бибербах (1916 ) и, наконец, доказано Луи де Бранж (1985 ).

Заявление касается Коэффициенты Тейлора а_п из однолистная функция, т. е. взаимно однозначная голоморфная функция, которая отображает единичный круг в комплексную плоскость, нормализованная, как всегда возможно, так что а₀ = 0 и а₁ = 1. То есть мы рассматриваем функцию, определенную на открытом единичном круге, которая является голоморфный и инъективный (однозначный ) с рядом Тейлора вида

{ displaystyle f (z) = z + sum _ {n geq 2} a_ {n} z ^ {n}.}

Такие функции называются Schlicht. Затем теорема утверждает, что

{ displaystyle | a_ {n} | leq n quad { text {для всех}} n geq 2.}

В Функция Кебе (см. ниже) - это функция, в которой а_п = п для всех п, и он однолистный, поэтому мы не можем найти более строгого ограничения на абсолютное значение п-й коэффициент.

Функции Шлихта

Нормализации

а₀ = 0 и а₁ = 1

значит, что

ж(0) = 0 и ж '(0) = 1.

Это всегда можно получить аффинное преобразование: начиная с произвольной инъективной голоморфной функции грамм определяется на открытом единичном диске и устанавливает

{ displaystyle f (z) = { frac {g (z) -g (0)} {g '(0)}}.}

Такие функции грамм представляют интерес, потому что они появляются в Теорема римана отображения.

А функция Шлихта определяется как аналитическая функция ж это взаимно однозначно и удовлетворяет ж(0) = 0 и ж '(0) = 1. Семейство однолистных функций - это повернутые функции Кебе

{ displaystyle f _ { alpha} (z) = { frac {z} {(1- alpha z) ^ {2}}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} n alpha ^ {n-1} z ^ {n}}

с α комплексное число абсолютная величина 1. Если ж - однолистная функция и |а_п| = п для некоторых п ≥ 2, то ж - повернутая функция Кёбе.

Условий теоремы де Бранжа недостаточно, чтобы показать, что функция однолистна, поскольку функция

{ Displaystyle е (г) = г + г ^ {2} = (г + 1/2) ^ {2} -1/4}

показывает: он голоморфен на единичном круге и удовлетворяет |а_п|≤п для всех п, но это не инъективно, так как ж(−1/2 + z) = ж(−1/2 − z).

История

Обзор истории дает Кёпф (2007).

Бибербах (1916) доказано |а₂| ≤ 2, и высказал гипотезу о том, что |а_п| ≤ п. Лёвнер (1917) и Неванлинна (1921) независимо доказали гипотезу для звездообразные функции.Потом Чарльз Лёвнер (Лёвнер (1923)) доказано |а₃| ≤ 3, используя Уравнение Лёвнера. Его работа использовалась в большинстве более поздних попыток, а также применяется в теории Эволюция Шрамма – Лёвнера.

Литтлвуд (1925, теорема 20) доказал, что |а_п| ≤ en для всех п, показывая, что гипотеза Бибербаха верна с точностью до множителя е = 2.718 ... Позднее некоторые авторы уменьшили константу в неравенстве ниже е.

Если ж(z) = z + ... однолистная функция, то φ (z) = ж(z²)^1/2 - нечетная однолистная функция. Палей и Littlewood (1932 ) показал, что его коэффициенты Тейлора удовлетворяют б_k ≤ 14 для всех k. Они предположили, что 14 можно заменить на 1 как естественное обобщение гипотезы Бибербаха. Гипотеза Литтлвуда – Пэли легко влечет за собой гипотезу Бибербаха с использованием неравенства Коши, но вскоре была опровергнута Фекете и Сегё (1933), который показал, что существует странная функция Шлихта с б₅ = 1/2 + exp (−2/3) = 1.013 ..., и что это максимально возможное значение б₅. Исаак Милин позже показал, что 14 можно заменить на 1,14, а Хейман показал, что числа б_k иметь ограничение меньше 1, если ж не является функцией Кебе (для которой б_2k+1 все 1). Таким образом, предел всегда меньше или равен 1, что означает, что гипотеза Литтлвуда и Пэли верна для всех коэффициентов, кроме конечного числа. Более слабая форма гипотезы Литтлвуда и Пэли была найдена Робертсон (1936).

В Гипотеза Робертсона заявляет, что если

{ displaystyle phi (z) = b_ {1} z + b_ {3} z ^ {3} + b_ {5} z ^ {5} + cdots}

- нечетная однолистная функция в единичном круге с б₁= 1, то для всех натуральных чисел п,

{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} | b_ {2k + 1} | ^ {2} leq n.}

Робертсон заметил, что его гипотеза все еще достаточно сильна, чтобы вывести из нее гипотезу Бибербаха, и доказал ее для п = 3. Эта гипотеза ввела ключевую идею ограничения различных квадратичных функций коэффициентов, а не самих коэффициентов, что эквивалентно ограничивающим нормам элементов в некоторых гильбертовых пространствах однолистных функций.

Было несколько доказательств гипотезы Бибербаха для некоторых более высоких значений п, особенно Гарабедян и Шиффер (1955) доказано |а₄| ≤ 4, Одзава (1969) и Педерсон (1968) доказано |а₆| ≤ 6 и Педерсон и Шиффер (1972) доказано |а₅| ≤ 5.

Хейман (1955) доказал, что предел а_п/п существует и имеет абсолютное значение меньше 1, если ж является функцией Кебе. В частности, это показало, что для любого ж может быть не более конечного числа исключений из гипотезы Бибербаха.

В Гипотеза Милина утверждает, что для каждой однолистной функции на единичном круге и для всех положительных целых чисел п,

{ Displaystyle сумма _ {к = 1} ^ {п} (п-к + 1) (к | гамма _ {к} | ^ {2} -1 / к) Leq 0}

где логарифмические коэффициенты γ_п из ж даны

{ displaystyle log (е (z) / z) = 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} gamma _ {n} z ^ {n}.}

Милин (1977) показано с использованием Неравенство Лебедева – Милина что из гипотезы Милина (позже доказанной де Бранжем) следует гипотеза Робертсона и, следовательно, гипотеза Бибербаха.

Ну наконец то Де Бранж (1985) доказано |а_п| ≤ п для всех п.

доказательство де Бранжа

В доказательстве используется тип Гильбертовы пространства из целые функции. Изучение этих пространств превратилось в подобласть комплексного анализа, и эти пространства стали называть пространства де Бранжа. Де Бранж доказал более сильную гипотезу Милина (Милин 1971 ) по логарифмическим коэффициентам. Уже было известно, что из этого следует гипотеза Робертсона (Робертсон 1936 ) о нечетных однолистных функциях, из чего, в свою очередь, вытекает гипотеза Бибербаха о однолистных функциях (Бибербах 1916 ). Его доказательство использует Уравнение Лёвнера, то Неравенство Аски – Гаспера о Многочлены Якоби, а Неравенство Лебедева – Милина по экспоненциальному степенному ряду.

Де Бранж свел гипотезу к некоторым неравенствам для многочленов Якоби и проверил первые несколько вручную. Вальтер Гаучи проверил на компьютере больше этих неравенств для де Бранжа (доказав гипотезу Бибербаха для первых 30 или около того коэффициентов), а затем спросил Ричард Аски знал ли он о подобном неравенстве. Аски указал, что Аски и Гаспер (1976) восемь лет назад доказал необходимые неравенства, что позволило де Бранжу завершить свое доказательство. Первая версия была очень длинной и имела некоторые незначительные ошибки, которые вызвали некоторый скептицизм, но они были исправлены с помощью участников Ленинградского семинара по геометрической теории функций (Ленинградское отделение Математического института им. В. А. Стеклова ), когда де Бранж посетил его в 1984 году.

Де Бранж доказал следующий результат, который при ν = 0 влечет гипотезу Милина (а значит, и гипотезу Бибербаха). Предположим, что ν> −3/2 и σ_п являются действительными числами для положительных целых чисел п с пределом 0 и таким, что