DeGroot обучение - DeGroot learning

DeGroot обучение относится к практическому типу процесса социального обучения. В общем виде идею высказал американский статистик. Моррис Х. ДеГрут;^[1] предшественники были сформулированы Джоном Р. П. Френчем.^[2] и Фрэнк Харари.^[3] Модель использовалась в физика, Информатика и наиболее широко в теории социальные сети.^[4]

Настройка и процесс обучения

Возьмите общество ${\displaystyle n}$ агенты, в которых каждый имеет свое мнение по предмету, представленному вектором вероятностей ${\displaystyle p(0)=(p_{1}(0),\dots ,p_{n}(0))}$. Агенты не получают новой информации, на основе которой они могут обновлять свое мнение, но они общаются с другими агентами. Связи между агентами (кто знает кого) и весом, который они придают мнениям друг друга, представлены в виде матрицы доверия. ${\displaystyle T}$ куда ${\displaystyle T_{ij}}$ это вес этого агента ${\displaystyle i}$ ставит на агента ${\displaystyle j}$мнение. Таким образом, матрица доверия находится во взаимно однозначной связи с взвешенный, ориентированный граф где есть грань между ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ если и только если ${\displaystyle T_{ij}>0}$. Матрица доверия стохастический, его строки состоят из неотрицательных действительных чисел, сумма каждой строки равна 1.

Формально верования обновляются в каждый период как

${\displaystyle p(t)=Tp(t-1)}$

Итак ${\displaystyle t}$ Мнения того периода связаны с первоначальными мнениями

${\displaystyle p(t)=T^{t}p(0)}$

Сближение убеждений и консенсус

Важный вопрос заключается в том, сходятся ли убеждения до предела и друг другу в долгосрочной перспективе. Поскольку матрица доверия стохастический, стандартные результаты в Цепь Маркова Теория может быть использована для определения условий, при которых предел

${\displaystyle p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)}$

существует для любых первоначальных убеждений ${\displaystyle p(0)\in [0,1]^{n}}$. Следующие случаи рассматриваются Голубом и Джексоном. ^[5] (2010).

Сильно связанный случай

Если граф социальной сети (представленный матрицей доверия) сильно связанный, сближение убеждений эквивалентно каждому из следующих свойств:

• график представлен ${\displaystyle T}$ является апериодический
• есть уникальный левый собственный вектор ${\displaystyle s}$ из ${\displaystyle T}$ соответствующий собственное значение 1, сумма элементов которого равна 1, так что для каждого ${\displaystyle p\in [0,1]^{n}}$, ${\displaystyle \left(\lim _{t\to \infty }T^{t}p\right)_{i}=s\cdot p}$ для каждого ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ куда ${\displaystyle \cdot }$ обозначает скалярное произведение.

Эквивалентность двух последних является прямым следствием Теорема Перрона – Фробениуса.

Общий случай

Необязательно иметь сильно связанный социальная сеть, чтобы иметь сходящиеся убеждения, однако равенство ограничивающих убеждений в целом не соблюдается.

Мы говорим, что группа агентов ${\displaystyle C\subseteq \{1,\dots ,n\}}$ является закрыто если для любого ${\displaystyle i\in C}$, ${\displaystyle T_{ij}>0}$ только если ${\displaystyle j\in C}$ . Убеждения сходятся тогда и только тогда, когда каждый набор узлов (представляющих индивидов), который сильно связан и замкнут, также апериодический.

Консенсус

Группа ${\displaystyle C}$ людей достигает консенсус если ${\displaystyle p_{i}(\infty )=p_{j}(\infty )}$ для любого ${\displaystyle i,j\in C}$. Это означает, что в результате процесса обучения, в некоторой степени, они имеют одинаковую веру по этому поводу.

С сильно связанный и апериодический сеть вся группа достигает консенсуса. в общем, любая сильно связная и замкнутая группа ${\displaystyle C}$ индивидов достигает консенсуса по каждому начальному вектору убеждений тогда и только тогда, когда он апериодичен. Если, например, есть две группы, удовлетворяющие этим предположениям, они достигают консенсуса внутри групп, но не обязательно консенсуса на уровне общества.

Влияние общества

Взять сильно связанный и апериодический социальная сеть. В этом случае общее ограничивающее убеждение определяется исходными убеждениями через

${\displaystyle p(\infty )=s\cdot p(0)}$

куда ${\displaystyle s}$ это уникальная единичная длина левый собственный вектор из ${\displaystyle T}$ соответствующий собственное значение 1. Вектор ${\displaystyle s}$ показывает веса, которые агенты придают первоначальным убеждениям друг друга в пределах консенсуса. Таким образом, чем выше ${\displaystyle s_{i}}$, чем больше влияние индивидуальный ${\displaystyle i}$ имеет по общему мнению веру.

Свойство собственного вектора ${\displaystyle s=sT}$ подразумевает, что

${\displaystyle s_{i}=\sum _{j=1}^{n}T_{ji}s_{j}}$

Это означает, что влияние ${\displaystyle i}$ является средневзвешенным влиянием этих агентов ${\displaystyle s_{j}}$ кто обращает внимание на ${\displaystyle i}$, с весом их уровня доверия. Следовательно, влиятельным агентам доверяют другие люди с большим влиянием.

Примеры

Эти примеры появляются в Джексоне ^[4] (2008).

Сближение убеждений

Общество с конвергентными убеждениями

Рассмотрим общество из трех человек со следующей матрицей доверия:

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}}$

Следовательно, первый человек одинаково взвешивает убеждения двух других, в то время как второй прислушивается только к первому, третий - только к второму. Для этой структуры социального доверия предел существует и равен

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)=\left(\lim _{t\to \infty }T^{t}\right)p(0)={\begin{pmatrix}2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\\end{pmatrix}}p(0)}$

так что вектор влияния ${\displaystyle s=\left(2/5,2/5,1/5\right)}$ и общее мнение ${\displaystyle 2/5p_{1}(0)+2/5p_{2}(0)+1/5p_{3}(0)}$. На словах, независимо от первоначальных убеждений, люди достигают консенсуса, согласно которому первоначальные убеждения первого и второго человека имеют вдвое большее влияние, чем третье.

Несходящиеся убеждения

Общество с несовпадающими убеждениями

Если мы изменим предыдущий пример так, чтобы третье лицо также слушало исключительно первого, мы получим следующую матрицу доверия:

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}}$

В этом случае для любого ${\displaystyle k\geq 1}$ у нас есть

${\displaystyle T^{2k-1}={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle T^{2k}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&1/2\\0&1/2&1/2\\\end{pmatrix}}}$

так ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }T^{t}}$ не существует, и убеждения не сходятся в пределе. Интуитивно понятно, что 1 обновляется на основе убеждений 2 и 3, тогда как 2 и 3 обновляются исключительно на основе убеждений 1, поэтому они обмениваются своими убеждениями в каждый период.

Асимптотические свойства в больших обществах: мудрость

Можно исследовать результаты процесса обучения ДеГрута в больших обществах, то есть в ${\displaystyle n\to \infty }$ предел.

Пусть предмет, по которому у людей есть мнения, будет «истинным состоянием». ${\displaystyle \mu \in [0,1]}$. Предположим, что люди имеют независимый шумные сигналы ${\displaystyle p_{i}^{(0)}(n)}$ из ${\displaystyle \mu }$(теперь верхний индекс обозначает время, аргумент в пользу размера общества). Предположим, что для всех ${\displaystyle n}$ матрица доверия ${\displaystyle T(n)}$ такова, что ограничивающие убеждения ${\displaystyle p_{i}^{(\infty )}(n)}$ существует независимо от первоначальных убеждений. Тогда последовательность обществ ${\displaystyle \left(T(n)\right)_{n=1}^{\infty }}$ называется Мудрый если

${\displaystyle \max _{i\leq n}|p_{i}^{(\infty )}-\mu |{\xrightarrow {\ p\ }}0}$

куда ${\displaystyle {\xrightarrow {\ p\ }}}$ обозначает сходимость по вероятности Это означает, что если общество будет расти неограниченно, со временем у них появится общее и точное убеждение по неопределенному вопросу.

Необходимое и достаточное условие мудрости может быть дано с помощью векторы влияния. Последовательность обществ мудра тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max _{i\leq n}s_{i}(n)=0}$

то есть общество мудро именно тогда, когда влияние даже самого влиятельного человека исчезает в пределе большого общества. Для дальнейшей характеристики и примеров см. Голуб и Джексон.^[5] (2010).

Рекомендации

1. ДеГрут, Моррис Х. 1974. "Достижение консенсуса. ” Журнал Американской статистической ассоциации, 69(345): 118–21.
2. Френч, Джон Р. П. 1956. «Формальная теория социальной власти». Психологический обзор, 63: 181–94.
3. Харари, Фрэнк. 1959. «Критерий единодушия в теории социальной власти Френча »В Дорвине Картрайте (ред.), Исследования в области социальной власти, Анн-Арбор, Мичиган: Институт социальных исследований.
4. Джексон, Мэтью О. 2008. Социально-экономические сети. Издательство Принстонского университета.
5. Голуб, Бенджамин и Мэтью О. Джексон 2010. "Наивное обучение в социальных сетях и мудрость толпы, "Американский экономический журнал: Микроэкономика, Американская экономическая ассоциация, том 2 (1), страницы 112-49, февраль".