Кремона группа - Cremona group

В алгебраическая геометрия, то Кремона группа, представлен Кремона (1863, 1865 ), - группа бирациональные автоморфизмы из ${ displaystyle n}$ -размерный проективное пространство над полем ${ displaystyle k}$ . Обозначается он ${ Displaystyle Cr ( mathbb {P} ^ {n} (k))}$ или же ${ Displaystyle Бир ( mathbb {P} ^ {n} (k))}$ или же ${ Displaystyle Cr_ {п} (к)}$ .

Группа Кремоны естественно отождествляется с группой автоморфизмов ${ displaystyle mathrm {Aut} _ {k} (к (x_ {1}, ..., x_ {n}))}$ области рациональные функции в ${ displaystyle n}$ не определяет ${ displaystyle k}$ , или другими словами чистый трансцендентное расширение из ${ displaystyle k}$ , со степенью трансцендентности ${ displaystyle n}$ .

В проективная общая линейная группа порядка ${ displaystyle n + 1}$ , из проективные преобразования, содержится в кремонской группе порядка ${ displaystyle n}$ . Эти двое равны только тогда, когда ${ displaystyle n = 0}$ или же ${ displaystyle n = 1}$ , и в этом случае числитель и знаменатель преобразования должны быть линейными.

Группа Кремона в двух измерениях

В двух измерениях Макс Нётер и Кастельнуово показали, что комплексная группа Кремоны порождается стандартным квадратичным преобразованием вместе с ${ Displaystyle mathrm {PGL} (3, k)}$ , хотя были некоторые разногласия по поводу правильности их доказательств, и Гизатуллин (1983) дал полный набор соотношений для этих генераторов. Структура этой группы все еще плохо изучена, хотя было много работы по поиску ее элементов или подгрупп.

Кантат и Лами (2010) показал, что группа Кремоны не проста как абстрактная группа;
Блан показал, что в нем нет нетривиальных нормальных подгрупп, также замкнутых в естественной топологии.
По поводу конечных подгрупп группы Кремоны см. Долгачев и Исковских (2009).

Группа Кремоны в высших измерениях

Мало что известно о структуре группы Кремона в трех измерениях и выше, хотя многие ее элементы описаны. Блан (2010) показал, что он (линейно) связан, отвечая на вопрос о Серр (2010). Нет простого аналога теоремы Нётер – Кастельнуво в виде Хадсон (1927) показал, что группа Кремоны в размерности не менее 3 не порождается своими элементами степени, ограниченной каким-либо фиксированным целым числом.

Группы Де Жонкьер

Группа Де Жонкьера - это подгруппа группы Кремоны следующего вида^{[нужна цитата ]}. Выберите основу трансцендентности ${ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {n}}$ для расширения поля ${ displaystyle k}$ . Тогда группа Де Жонкьера - это подгруппа автоморфизмов группы ${ displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {n})}$ отображение подполя ${ displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$ в себя для некоторых ${ Displaystyle г Leq п}$ . Он имеет нормальную подгруппу, заданную группой Кремоны автоморфизмов ${ Displaystyle к (х_ {1}, ..., х_ {п})}$ над полем ${ displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$ , а фактор-группа - группа Кремоны ${ displaystyle k (x_ {1}, ..., x_ {r})}$ над полем ${ displaystyle k}$ . Его также можно рассматривать как группу бирациональных автоморфизмов расслоения ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {r} times mathbb {P} ^ {n-r} to mathbb {P} ^ {r}}$ .

Когда ${ displaystyle n = 2}$ и ${ displaystyle r = 1}$ группа Де Жонкьера - это группа преобразований Кремоны, фиксирующих пучок прямых, проходящих через данную точку, и является полупрямым произведением ${ Displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (к)}$ и ${ Displaystyle mathrm {PGL} _ {2} (к (т))}$ .

Кремона группа - Cremona group

Содержание

Группа Кремона в двух измерениях

Группа Кремоны в высших измерениях

Группы Де Жонкьер

Рекомендации