Связь (вероятность) - Coupling (probability)

В теория вероятности, связь это доказательство метод, позволяющий сравнивать две несвязанные случайные величины (распределения) ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ создавая случайный вектор ${ displaystyle W}$ чей маржинальные распределения соответствуют ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ соответственно. Выбор ${ displaystyle W}$ обычно не является уникальным, и вся идея "связывания" заключается в том, чтобы сделать такой выбор, чтобы ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ могут быть связаны особенно желательным образом.

Определение

С использованием стандартный формализм вероятности, пусть ${ displaystyle X_ {1}}$ и ${ displaystyle X_ {2}}$ две случайные величины, определенные на вероятностные пространства ${ displaystyle ( Omega _ {1}, F_ {1}, P_ {1})}$ и ${ displaystyle ( Omega _ {2}, F_ {2}, P_ {2})}$ . Тогда соединение ${ displaystyle X_ {1}}$ и ${ displaystyle X_ {2}}$ это новый вероятностное пространство ${ displaystyle ( Omega, F, P)}$ над которой есть две случайные величины ${ displaystyle Y_ {1}}$ и ${ displaystyle Y_ {2}}$ такой, что ${ displaystyle Y_ {1}}$ имеет то же распределение, что и ${ displaystyle X_ {1}}$ пока ${ displaystyle Y_ {2}}$ имеет то же распределение, что и ${ displaystyle X_ {2}}$ .

Интересный случай, когда ${ displaystyle Y_ {1}}$ и ${ displaystyle Y_ {2}}$ находятся нет независимый.

Примеры

Случайная прогулка

Предположим две частицы А и B выполнить простой случайная прогулка в двух измерениях, но они начинаются с разных точек. Самый простой способ связать их - просто заставить их идти вместе. На каждом шагу, если А подходит, так делает B, если А движется влево, также Bи т.д. Таким образом, разница между двумя частицами остается неизменной. Поскольку А обеспокоен, он совершает идеальное случайное блуждание, а B подражатель. B придерживается противоположной точки зрения, т. е. что это, по сути, оригинал и что А это копия. И в каком-то смысле они оба правы. Другими словами, любая математическая теорема или результат, справедливый для обычного случайного блуждания, также будет верен для обоих А и B.

Рассмотрим теперь более сложный пример. Предположить, что А начинается с точки (0,0) и B из (10,10). Сначала соедините их так, чтобы они шли вместе в вертикальном направлении, т. Е. Если А идет вверх, так же Bи т. д., но являются зеркальными отражениями в горизонтальном направлении, т.е. если А идет налево, B идет направо и наоборот. Продолжаем эту связь до тех пор, пока А и B имеют одинаковую горизонтальную координату, или другими словами находятся на вертикальной линии (5,у). Если они никогда не встретятся, мы продолжим этот процесс вечно (хотя вероятность этого равна нулю). После этого события меняем правило сопряжения. Мы позволяем им гулять вместе в горизонтальном направлении, но по правилу зеркального отображения в вертикальном направлении. Мы продолжаем это правило, пока они не встретятся в вертикальном направлении (если они встречаются), и с этого момента мы просто позволяем им идти вместе.

Это сцепление в том смысле, что ни одна частица, взятая сама по себе, не может «почувствовать» что-либо, что мы сделали. Ни тот факт, что другая частица следует за ней тем или иным образом, ни тот факт, что мы изменили правило связывания или когда мы это сделали. Каждая частица совершает простое случайное блуждание. И все же наше правило сопряжения заставляет их встречаться почти наверняка и продолжать с этого момента вместе навсегда. Это позволяет доказать множество интересных результатов, говорящих о том, что «в конечном итоге» неважно, с чего вы начали, чтобы получить этот конкретный результат.

Предвзятые монеты

Предположим две смещенные монеты, первая с вероятностью п Поднимать головы и второй с вероятностью q > п поднимать головы. Интуитивно понятно, что если обе монеты подбрасываются одинаковое количество раз, первая монета должна выпадать меньше орлов, чем вторая. В частности, для любых фиксированных k, вероятность того, что первая монета принесет не менее k орла должны быть меньше, чем вероятность того, что вторая монета даст хотя бы k головы. Однако доказать такой факт с помощью стандартного счетного аргумента может быть сложно.^[1] Муфта легко обходит эту проблему.

Позволять Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п - индикаторные переменные для орла в последовательности подбрасываний первой монеты. Для второй монеты определите новую последовательность Y₁, Y₂, ..., Y_п такой, что

если Икс_я = 1, то Y_я = 1,
если Икс_я = 0, то Y_я = 1 с вероятностью (q − п)/(1 − п).

Тогда последовательность Y_я имеет точное распределение вероятностей подбрасывания второй монеты. Однако, поскольку Y_я зависит от Икс_я, теперь возможно сравнение двух монет. То есть для любого k ≤ п

{ displaystyle Pr (X_ {1} + cdots + X_ {n}> k) leq Pr (Y_ {1} + cdots + Y_ {n}> k).}

Смотрите также

Копула (теория вероятностей)

Примечания

^ Дубхаши, Девдатт; Панконези, Алессандро (15 июня 2009 г.). Концентрация меры для анализа рандомизированных алгоритмов (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 91. ISBN 978-0-521-88427-3.