Кривая контракта - Contract curve

Синяя кривая эффективных точек Парето в точках касания кривые безразличия в Коробка Эджворта. Если первоначальное распределение двух товаров находится в точке, отличной от этого локуса, то два человека могут торговать до точки на эффективном локусе в пределах линзы, образованной кривыми безразличия, на которых они изначально находились. Набор всех этих эффективных точек, до которых можно было бы торговать, и есть кривая контракта.
На приведенном ниже графике начальные способности двух людей находятся в точке X на кривой безразличия Кельвина K.₁ и кривая безразличия Джейн J₁. Оттуда они могли согласиться на взаимовыгодную торговлю в любую точку линзы, образованной этими кривыми безразличия. Но единственные точки, из которых не существует взаимовыгодной торговли, - это точки соприкосновения между кривыми безразличия двух людей, например точка E. Кривая контракта - это совокупность этих касаний кривых безразличия внутри линзы - это кривая, идущая вверх. вправо и проходит через точку E.

В микроэкономика, то кривая контракта - это набор точек, представляющих окончательное распределение двух товаров между двумя людьми, которое могло произойти в результате взаимовыгодной торговли между этими людьми с учетом их первоначального распределения товаров. Все точки этого локуса Парето эффективный распределения, что означает, что из любого из этих пунктов нет перераспределения, которое могло бы сделать одного из людей более удовлетворенным его или ее распределением, но не сделало бы другого менее удовлетворенным. Контрактная кривая - это подмножество точек, эффективных по Парето, которые могут быть достигнуты при торговле из первоначальных запасов людей двумя товарами. Он нарисован в Коробка Эджворта приведенная здесь диаграмма, на которой распределение каждого человека измеряется по вертикали для одного товара и по горизонтали для другого товара из источника этого лица (точка нулевого распределения для обоих товаров); происхождение одного человека - это нижний левый угол прямоугольника Эджворта, а происхождение другого человека - верхний правый угол поля. Первоначальные запасы людей (начальные распределения двух благ) представлены точкой на диаграмме; двое людей будут торговать друг с другом товарами до тех пор, пока взаимовыгодные сделки не прекратятся. Набор точек, в которых они теоретически могут остановиться, - это точки на кривой контракта. Однако некоторые авторы^[1] определить контрактную кривую как весь эффективный по Парето локус от одного источника к другому.

Любой Вальрасовское равновесие лежит на кривой контракта. Как и все Парето эффективный каждая точка на кривой контракта является точкой соприкосновения между кривой безразличия одного человека и кривой безразличия другого человека. Таким образом, на контрактной кривой предельная ставка замещения одинаково для обоих людей.

Пример

Предположим, что существует экономика с двумя агентами, Октавио и Эбби, которые потребляют два товара X и Y, из которых есть фиксированные запасы, как показано на приведенной выше диаграмме Эджворта. Далее, предположим начальное распределение (снабжение) товаров между Октавио и Эбби, и пусть каждый имеет нормально структурированные (выпуклые) предпочтения, представленные кривые безразличия которые являются выпуклыми по отношению к соответствующему происхождению людей. Если первоначальное распределение не находится в точке соприкосновения между кривой безразличия Октавио и кривой безразличия Эбби, тогда это первоначальное распределение должно быть в точке, где кривая безразличия Октавио пересекает кривую безразличия Октавио. Эти две кривые безразличия образуют форму линзы с начальным расположением в одном из двух углов линзы. Октавио и Эбби предпочтут совершать взаимовыгодные сделки - то есть они будут торговать до точки, которая находится на лучшей (более удаленной от начала) кривой безразличия для обоих. Такая точка будет внутри линзы, и скорость обмена одного товара на другой будет находиться между предельной скоростью замещения Октавио и Эбби. Поскольку сделки всегда предоставляют каждому человеку больше одного товара и меньше другого, торговля приводит к движению вверх и влево или вниз и вправо на диаграмме.

Эти два человека будут продолжать торговать, пока каждый предельная ставка замещения (абсолютное значение наклона кривой безразличия человека в этой точке) отличается от значения наклона кривой безразличия другого человека при текущем распределении (в этом случае будет взаимоприемлемое соотношение обмена одного товара на другой между разными маржинальными скорости замещения). В тот момент, когда предельная норма замещения Октавио равна предельной норме замещения Эбби, взаимовыгодный обмен невозможен. Эта точка называется Парето эффективный равновесие. В поле Эджворта это точка, в которой кривая безразличия Октавио касается кривой безразличия Эбби, и находится внутри линзы, образованной их начальными выделениями.

Таким образом, кривая контракта, набор точек, в которых могли бы закончить Октавио и Эбби, является частью эффективного по Парето локуса, который находится внутри линзы, образованной начальным распределением. Анализ не может сказать, в какой конкретной точке контрактной кривой они окажутся - это зависит от навыков ведения переговоров между двумя людьми.

Математическое объяснение

В случае двух товаров и двух людей кривую контракта можно найти следующим образом. Здесь ${ displaystyle x_ {2} ^ {1}}$ относится к окончательному количеству товара 2, выделенному лицу 1 и т. д., ${ displaystyle u ^ {1}}$ и ${ displaystyle u ^ {2}}$ относятся к конечным уровням полезности, испытываемой человеком 1 и человеком 2 соответственно, ${ displaystyle u_ {0} ^ {2}}$ относится к уровню полезности, которую человек 2 получил бы от первоначального распределения без торговли вообще, и ${ displaystyle omega _ {1} ^ {tot}}$ и ${ displaystyle omega _ {2} ^ {tot}}$ относятся к фиксированному общему количеству товаров 1 и 2 соответственно.

{ displaystyle max _ {x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}, x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}} u ^ {1} (x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1})}

при условии:

{ displaystyle x_ {1} ^ {1} + x_ {1} ^ {2} leq omega _ {1} ^ {tot}}

{ displaystyle x_ {2} ^ {1} + x_ {2} ^ {2} leq omega _ {2} ^ {tot}}

{ displaystyle u ^ {2} (x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}) geq u_ {0} ^ {2}}

Эта задача оптимизации гласит, что товары должны быть распределены между двумя людьми таким образом, чтобы не более доступного количества каждого товара распределялось между двумя людьми вместе, а полезность первого лица должна быть как можно выше, пока сделать полезность второго человека не ниже, чем при первоначальном распределении (чтобы второе лицо не отказывалось торговать от первоначального распределения до найденной точки); эта формулировка задачи находит на линзе точку, эффективную по Парето, как можно дальше от места происхождения человека 1. Это тот момент, который был бы достигнут, если бы у человека 1 была вся сила на переговорах. (Фактически, чтобы создать хотя бы легкий стимул для человека 2 согласиться торговать до определенной точки, точка должна быть немного внутри линзы.)

Чтобы проследить всю кривую контракта, указанная выше задача оптимизации может быть изменена следующим образом. Максимизируйте средневзвешенное значение полезности лиц 1 и 2 с помощью весов б и 1 - б, при условии, что распределение каждого товара не превышает его предложения, и при условии, что полезность обоих людей должна быть не меньше, чем их полезности при начальных запасах:

{ displaystyle max _ {x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}, x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}} b cdot u ^ {1 } (x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}) + (1-b) cdot u ^ {2} (x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2 })}

при условии:

{ displaystyle x_ {1} ^ {1} + x_ {1} ^ {2} leq omega _ {1} ^ {tot}}

{ displaystyle x_ {2} ^ {1} + x_ {2} ^ {2} leq omega _ {2} ^ {tot}}

{ displaystyle u ^ {1} (x_ {1} ^ {1}, x_ {2} ^ {1}) geq u_ {0} ^ {1}}

{ displaystyle u ^ {2} (x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}) geq u_ {0} ^ {2}}

куда ${ displaystyle u ^ {1}}$ это полезность, которую человек 1 испытал бы, если бы не торговал за пределами первоначального капитала. Изменяя весовой параметр б, можно проследить всю кривую контракта: Если б = 1 проблема такая же, как и в предыдущей задаче, и она определяет эффективную точку на одном краю линзы, образованную кривыми безразличия начального запаса; если б = 0 весь вес приходится на полезность человека 2, а не человека 1, поэтому оптимизация определяет эффективную точку на другом крае линзы. В качестве б плавно меняется между этими двумя крайностями, все промежуточные точки на кривой контракта прослеживаются.

Обратите внимание, что вышеупомянутые оптимизации не являются теми, в которых эти два человека фактически участвовали бы, явно или неявно. Вместо этого эти оптимизации - просто способ для экономиста определить точки на кривой контракта.

Кривая контракта - Contract curve

Содержание

Пример

Математическое объяснение

Смотрите также

Рекомендации