Continuant (математика) - Continuant (mathematics)

В алгебра, то продолжающийся это многомерный полином представляющий детерминант из трехдиагональная матрица и имея приложения в обобщенные непрерывные дроби.

Определение

В п-го продолжающийся ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}$ определяется рекурсивно

${\displaystyle K_{0}=1;\,}$

${\displaystyle K_{1}(x_{1})=x_{1};\,}$

${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=x_{n}K_{n-1}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})+K_{n-2}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-2}).\,}$

Свойства

• Продолжающийся ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}$ можно вычислить, взяв сумму всех возможных произведений Икс₁,...,Икс_п, в котором удаляется любое количество непересекающихся пар следующих друг за другом термов (Правило Эйлера). Например,

  ${\displaystyle K_{5}(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;x_{4},\;x_{5})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{3}\;+\;x_{1}\;+\;x_{3}\;+\;x_{5}.}$

Отсюда следует, что континуанты инвариантны относительно изменения порядка неопределенностей: ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=K_{n}(x_{n},\;\ldots ,\;x_{1}).}$

• Континуант можно вычислить как детерминант из трехдиагональная матрица:

  ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\\-1&x_{2}&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&x_{n}\end{pmatrix}}.}$

• ${\displaystyle K_{n}(1,\;\ldots ,\;1)=F_{n+1}}$, (п+1) -й Число Фибоначчи.
• ${\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=x_{1}+{\frac {K_{n-2}(x_{3},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}.}$
• Отношения континуантов представляют (сходятся к) непрерывные дроби следующим образом:

  ${\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=[x_{1};\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n}]=x_{1}+{\frac {1}{\displaystyle {x_{2}+{\frac {1}{x_{3}+\ldots }}}}}.}$

• Справедливо следующее матричное тождество:

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\\K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\times \ldots \times {\begin{pmatrix}x_{n}&1\\1&0\end{pmatrix}}}$.

  • Для определителей это означает, что

    ${\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})-K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=(-1)^{n}.}$

  • а также

    ${\displaystyle K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n+2})-K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n+2})=(-1)^{n+1}x_{n+2}.}$

Обобщения

В обобщенном определении континуант берется относительно трех последовательностей а, б и c, так что K(п) является полиномом от а₁,...,а_п, б₁,...,б_п−1 и c₁,...,c_п−1. В этом случае отношение повторения становится

${\displaystyle K_{0}=1;\,}$

${\displaystyle K_{1}=a_{1};\,}$

${\displaystyle K_{n}=a_{n}K_{n-1}-b_{n-1}c_{n-1}K_{n-2}.\,}$

поскольку б_р и c_р войти в K только как продукт б_рc_р без потери общности предположение, что б_р все равны 1.

Расширенный^{[нужна цитата ]} континуант - это в точности определитель трехдиагональной матрицы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&0&\ldots &0&0\\c_{1}&a_{2}&b_{2}&\ldots &0&0\\0&c_{2}&a_{3}&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &a_{n-1}&b_{n-1}\\0&0&0&\ldots &c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

В книге Мюира обобщенный континуант называют просто континуантом.

использованная литература

• Томас Мьюир (1960). Трактат по теории детерминант. Dover Publications. стр.516 –525.
• Cusick, Thomas W .; Flahive, Мэри Э. (1989). Спектры Маркова и Лагранжа. Математические обзоры и монографии. 30. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 89. ISBN  0-8218-1531-8. Zbl  0685.10023.
• Джордж Кристал (1999). Алгебра, Начальный учебник для старших классов средней школы и колледжей: Ч. 1. Американское математическое общество. п. 500. ISBN  0-8218-1649-7.