Теорема о постоянной хорде - Constant chord theorem

постоянная длина хорды: ${\displaystyle |P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|}$

длина постоянного диаметра: ${\displaystyle |P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|}$

В теорема о постоянной хорде это утверждение в элементарной геометрия о собственности определенных аккорды в двух пересекающихся круги.

Круги ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ пересекаются в точках ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$. ${\displaystyle Z_{1}}$ произвольная точка на ${\displaystyle k_{1}}$ отличаться от ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$. Линии ${\displaystyle Z_{1}P}$ и ${\displaystyle Z_{1}Q}$ пересечь круг ${\displaystyle k_{2}}$ в ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle Q_{1}}$. Теорема о постоянной хорде утверждает, что длина хорды ${\displaystyle P_{1}Q_{1}}$ в ${\displaystyle k_{2}}$ не зависит от местонахождения ${\displaystyle Z_{1}}$ на ${\displaystyle k_{1}}$, другими словами, длина постоянна.

Теорема остается в силе, когда ${\displaystyle Z_{1}}$ совпадает с ${\displaystyle P}$ или ${\displaystyle Q}$, при условии, что одна заменяет тогда неопределенную строку ${\displaystyle Z_{1}P}$ или ${\displaystyle Z_{1}Q}$ по касательной на ${\displaystyle k_{1}}$ в ${\displaystyle Z_{1}}$.

Аналогичная теорема существует в трех измерениях для пересечения двух сферы. Сферы ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ пересекаться по кругу ${\displaystyle k_{s}}$. ${\displaystyle Z_{1}}$ - произвольная точка на поверхности первой сферы ${\displaystyle k_{1}}$, который не находится на круге пересечения ${\displaystyle k_{s}}$. Расширенный конус сделано ${\displaystyle k_{s}}$ и ${\displaystyle Z_{1}}$ пересекает вторую сферу ${\displaystyle k_{2}}$ по кругу. Длина диаметра этого круга постоянна, то есть не зависит от расположения ${\displaystyle Z_{1}}$ на ${\displaystyle k_{1}}$.

Натан Альтшиллер Корт описал теорему о постоянной хорде 1925 г. в статье sur deux cercles секущие для бельгийского математического журнала Матезис. Восемь лет спустя он опубликовал О двух пересекающихся сферах в Американский математический ежемесячный журнал, который содержал 3-х мерную версию. Позже он был включен в несколько учебников, таких как Росс Хонсбергер с Математические кусочки и Роджер Б. Нельсен с Доказательство без слов II, где это было задано, или в немецком учебнике геометрии Mit harmingischen Verhältnissen zu Kegelschnitten Хальбайзеном, Хунгербюлером и Лаухли, где он был дан в виде теоремы.

Рекомендации

• Лоренц Хальбайзен, Норберт Хунгербюлер, Хуан Лаухли: Mit harmingischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN  9783662530344, п. 16 (немецкий)
• Роджер Б. Нельсен: Доказательство без слов II. МАА, 2000, с. 29
• Росс Хонсбергер: Математические кусочки. МАА, 1979 г., ISBN  978-0883853030, стр. 126–127
• Натан Альтшиллер Корт: На двух пересекающихся сферах. Американский математический ежемесячник, Band 40, Nr. 5, 1933, с. 265–269 (JSTOR )
• Натан Альтшиллер-Корт: sur deux cercles секущие. Mathesis, Band 39, 1925, стр. 453 (французский)

внешняя ссылка

• Теорема о постоянной хорде как проблема на cut-the-knot.org