Составные данные - Compositional data

В статистика, композиционные данные количественные описания частей некоторого целого, передающие относительную информацию. Математически композиционные данные представлен точками на симплекс. Измерения, включающие вероятности, пропорции, проценты и промилле все можно рассматривать как композиционные данные.

Тернарный сюжет

В трех переменных, композиционные данные в трех переменных могут быть построены с помощью тройные участки. Использование барицентрический участок на трех переменных графически изображает отношения трех переменных как позиции в равносторонний треугольник.

Симплициальное пространство отсчетов

В целом, Джон Эйтчисон определил композиционные данные как пропорции некоторого целого в 1982 году.^[1] В частности, точка композиционных данных (или сочинение для краткости) может быть представлен вещественным вектором с положительными компонентами. Пространство выборки композиционных данных представляет собой симплекс:

${\displaystyle {\mathcal {S}}^{D}=\left\{\mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\dots ,x_{D}]\in \mathbb {R} ^{D}\,\left|\,x_{i}>0,i=1,2,\dots ,D;\sum _{i=1}^{D}x_{i}=\kappa \right.\right\}.\ }$

Иллюстрация симплекса Эйтчисона. Здесь есть 3 части, ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ представляют собой значения разных пропорций. A, B, C, D и E - это 5 разных композиций в симплексе. Все A, B и C эквивалентны, а D и E эквивалентны.

Единственная информация дается соотношениями между компонентами, поэтому информация о композиции сохраняется при умножении на любую положительную константу. Следовательно, выборочное пространство композиционных данных всегда можно считать стандартным симплексом, т.е. ${\displaystyle \kappa =1}$. В этом контексте нормализация к стандартному симплексу называется закрытие и обозначается ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}[\,\cdot \,]}$:

${\displaystyle {\mathcal {C}}[x_{1},x_{2},\dots ,x_{D}]=\left[{\frac {x_{1}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}}},{\frac {x_{2}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}}},\dots ,{\frac {x_{D}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}}}\right],\ }$

куда D количество деталей (компонентов) и ${\displaystyle [\cdot ]}$ обозначает вектор-строку.

Геометрия Эйчисона

Симплексу можно придать структуру реального векторного пространства несколькими способами. Следующая структура векторного пространства называется Геометрия Эйчисона или Симплекс Эйчисона и имеет следующие операции:

Возмущение

${\displaystyle x\oplus y=\left[{\frac {x_{1}y_{1}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},{\frac {x_{2}y_{2}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}},\dots ,{\frac {x_{D}y_{D}}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}y_{i}}}\right]=C[x_{1}y_{1},\ldots ,x_{D}y_{D}]\qquad \forall x,y\in S^{D}}$

Питание

${\displaystyle \alpha \odot x=\left[{\frac {x_{1}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},{\frac {x_{2}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}},\ldots ,{\frac {x_{D}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{D}x_{i}^{\alpha }}}\right]=C[x_{1}^{\alpha },\ldots ,x_{D}^{\alpha }]\qquad \forall x\in S^{D},\;\alpha \in \mathbb {R} }$

Внутренний продукт

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2D}}\sum _{i=1}^{D}\sum _{j=1}^{D}\log {\frac {x_{i}}{x_{j}}}\log {\frac {y_{i}}{y_{j}}}\qquad \forall x,y\in S^{D}}$

Одних только этих операций достаточно показать, что симплекс Эйчисона образует ${\displaystyle (D-1)}$-мерное евклидово векторное пространство.

Ортонормированные базы

Поскольку симплекс Эйчисона образует конечномерное гильбертово пространство, можно построить ортонормированные базисы в симплексе. Каждая композиция ${\displaystyle x}$ можно разложить следующим образом

${\displaystyle x=\bigoplus _{i=1}^{D}x_{i}^{*}\odot e_{i}}$

куда ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{D-1}}$ образует ортонормированный базис в симплексе.^[2] Ценности ${\displaystyle x_{i}^{*},i=1,2,\ldots ,D-1}$ - координаты (ортонормированные и декартовы) ${\displaystyle x}$ по данному основанию. Они называются изометрическими логарифмическими координатами. ${\displaystyle (\operatorname {ilr} )}$.

Линейные преобразования

Есть три хорошо охарактеризованных изоморфизмы которые превращаются из симплекса Эйтчисона в реальное пространство. Все эти преобразования удовлетворяют линейности и, как указано ниже

Аддитивное преобразование логарифмического отношения

Преобразование аддитивного логарифмического отношения (alr) является изоморфизмом, где ${\displaystyle \operatorname {alr} :S^{D}\rightarrow \mathbb {R} ^{D-1}}$. Это дается

${\displaystyle \operatorname {alr} (x)=\left[\log {\frac {x_{1}}{x_{D}}}\cdots \log {\frac {x_{D-1}}{x_{D}}}\right]}$

Компонент знаменателя выбирается произвольно и может быть любым заданным компонентом. Это преобразование обычно используется в химии при измерениях, таких как pH. Кроме того, это преобразование чаще всего используется для полиномиальная логистическая регрессия. Преобразование alr не является изометрией, то есть расстояния в преобразованных значениях не будут эквивалентны расстояниям в исходных композициях в симплексе.

Преобразование центрального логарифмического отношения

Преобразование центрально-логарифмического отношения (clr) является одновременно изоморфизмом и изометрией, где ${\displaystyle \operatorname {clr} :S^{D}\rightarrow U,\quad U\subset \mathbb {R} ^{D}}$

${\displaystyle \operatorname {clr} (x)=\left[\log {\frac {x_{1}}{g(x)}}\cdots \log {\frac {x_{D}}{g(x)}}\right]}$

Где ${\displaystyle g(x)}$ среднее геометрическое ${\displaystyle x}$. Обратная функция этой функции также известна как функция softmax обычно используется в нейронных сетях.

Изометрическое преобразование логарифмического отношения

Преобразование изометрического логарифмического отношения (ilr) является одновременно изоморфизмом и изометрией, где ${\displaystyle \operatorname {ilr} :S^{D}\rightarrow \mathbb {R} ^{D-1}}$

${\displaystyle \operatorname {ilr} (x)={\big [}\langle x,e_{1}\rangle ,\ldots ,\langle x,e_{D-1}\rangle {\big ]}}$

Существует несколько способов построения ортонормированных базисов, включая использование Ортогонализация Грама – Шмидта или же сингулярное разложение преобразованных данных clr. Другой альтернативой является построение бревенчатых контрастов из разветвляющегося дерева. Если дано бифуркационное дерево, мы можем построить основу из внутренних узлов в дереве.

Представление дерева через его ортогональные компоненты. l представляет собой внутренний узел, элемент ортонормированного базиса. Это предшественник использования дерева в качестве основы для преобразования ilr.

Каждый вектор в базисе будет определяться следующим образом

${\displaystyle e_{\ell }=C[\exp(\,\underbrace {0,\ldots ,0} _{k},\underbrace {a,\ldots ,a} _{r},\underbrace {b,\ldots ,b} _{s},\underbrace {0,\ldots ,0} _{t}\,)]}$

Элементы в каждом векторе задаются следующим образом

${\displaystyle a={\frac {\sqrt {s}}{\sqrt {r(r+s)}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {-{\sqrt {r}}}{\sqrt {s(r+s)}}}}$

куда ${\displaystyle k,r,s,t}$ - соответствующее количество подсказок в соответствующих поддеревьях, показанных на рисунке. Можно показать, что полученный базис ортонормирован.^[3]

Когда-то основа ${\displaystyle \Psi }$ построено, преобразование ilr может быть вычислено следующим образом

${\displaystyle \operatorname {ilr} (x)=\operatorname {clr} (x)\Psi ^{T}}$

где каждый элемент в данных, преобразованных ilr, имеет следующую форму

${\displaystyle b_{i}={\sqrt {\frac {rs}{r+s}}}\log {\frac {g(x_{R})}{g(x_{S})}}}$

куда ${\displaystyle x_{R}}$ и ${\displaystyle x_{S}}$ - набор значений, соответствующих подсказкам в поддеревьях ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle S}$

Примеры

• В химия, композиции могут быть выражены как молярные концентрации каждого компонента. Поскольку сумма всех концентраций не определена, весь состав D частей необходимы и, таким образом, выражаются как вектор D молярные концентрации. Эти составы можно перевести в массовые проценты, умножив каждый компонент на соответствующую константу.
• В демография, город может быть точкой композиционных данных в выборке городов; город, в котором 35% населения - христиане, 55% - мусульмане, 6% - евреи, а оставшиеся 4% - другие, соответствует четверке [0,35, 0,55, 0,06, 0,04]. Набор данных будет соответствовать списку городов.
• В геология, горная порода, состоящая из различных минералов, может быть точкой данных о составе в образце горных пород; горная порода, из которой 10% является первым минералом, 30% - вторым, а оставшиеся 60% - третьим, соответствует тройному [0,1, 0,3, 0,6]. А набор данных будет содержать по одной такой тройке для каждого камня в образце горных пород.
• В высокопроизводительное секвенирование полученные данные обычно преобразуются в относительную численность, что делает их композиционными.
• В вероятность и статистика, разделение пространства выборки на непересекающиеся события описывается вероятностями, присвоенными таким событиям. Вектор D вероятности можно рассматривать как композицию D части. Когда они прибавляются к одному, одна вероятность может быть подавлена, и состав полностью определен.
• В опрос, пропорции людей, положительно ответивших на разные вопросы, можно выразить в процентах. Поскольку общее количество определено как 100, композиционный вектор D компоненты могут быть определены с использованием только D - 1 компонент, предполагая, что оставшийся компонент - это процент, необходимый для прибавления всего вектора к 100.

Смотрите также

• Модель смеси
• Методология поверхности отклика
• Приложения симплексов
• Тернарный сюжет

Примечания

1. Эйчисон, Джон (1982). «Статистический анализ композиционных данных». Журнал Королевского статистического общества. Серия B (Методологическая). 44 (2): 139–177. Дои:10.1111 / j.2517-6161.1982.tb01195.x.
2. Egozcue et al.
3. Egozcue & Pawlowsky-Glahn 2005

Рекомендации

• Эйчисон, Дж. (2011) [1986], Статистический анализ композиционных данных, Монографии по статистике и прикладной вероятности, Springer, ISBN  978-94-010-8324-9
• ван ден Богаарт, К. Джеральд; Толосана-Дельгадо, Раймон (2013), Анализ композиционных данных с помощью R, Спрингер, ISBN  978-3-642-36809-7
• Эгозкуэ, Хуан Хосе; Павловски-Глан, Вера; Матеу-Фигерас, Глория; Барсело-Видаль, Карлес (2003), "Изометрические преобразования логарифмического отношения для анализа композиционных данных", Математическая геология, 35 (3): 279–300, Дои:10.1023 / А: 1023818214614, S2CID  122844634
• Эгозкуэ, Хуан Хосе; Павловски-Глан, Вера (2005), «Группы частей и их балансы в композиционном анализе данных», Математическая геология, 37 (7): 795–828, Дои:10.1007 / s11004-005-7381-9, S2CID  53061345
• Павловски-Глан, Вера; Эгозкуэ, Хуан Хосе; Толосана-Дельгадо, Раймон (2015), Моделирование и анализ композиционных данных, Wiley, Дои:10.1002/9781119003144, ISBN  9781119003144

внешняя ссылка

• CoDaWeb - Веб-сайт композиционных данных
• Pawlowsky-Glahn, V .; Egozcue, J.J .; Толосана-Дельгадо Р. (2007). «Конспект лекций по анализу композиционных данных». HDL:10256/297.
• Почему и как геологи должны использовать анализ композиционных данных (викибук)