Круговой разрез - Circular section

трехосный эллипсоид круглого сечения

В геометрии круговое сечение это круг на квадрика поверхность (например, эллипсоид или же гиперболоид ). Это особенный самолет сечение квадрики, так как этот круг является пересечением с квадрикой плоскости, содержащей круг.

Любое плоское сечение сферы считается круглым сечением, если оно содержит не менее 2 точек. Любой квадрика вращения содержит круги в виде сечений с плоскостями, ортогональными его оси; он не содержит других кругов, если это не сфера. Более скрытые круги на других квадриках, таких как трехосные эллипсоиды, эллиптические цилиндры и т. Д. Тем не менее, верно, что:

• Любая квадратичная поверхность, содержащая эллипсы, также содержит круги.

Эквивалентно, все квадратичные поверхности содержат окружности, кроме параболических и гиперболических. цилиндры и гиперболический параболоиды.

Если квадрика содержит окружность, то каждое пересечение квадрики с плоскостью, параллельной этой окружности, также является окружностью при условии, что оно содержит как минимум две точки. За исключением сфер, окружности, содержащиеся в квадрике, если они есть, все параллельны одной из двух неподвижных плоскостей (которые равны в случае квадрики вращения).

Круглые секции используются в кристаллография.^[1][2][3]

Использование проективной геометрии

Круговые сечения квадрики могут быть вычислены из неявное уравнение квадрики, как это делается в следующих разделах. Их также можно охарактеризовать и изучить с помощью синтетический проективная геометрия.

Позволять C - пересечение квадратичной поверхности Q и самолет п. В этой секции, Q и C поверхности в трехмерном Евклидово пространство, которые распространяются на проективное пространство над сложные числа. В этих предположениях кривая C окружность тогда и только тогда, когда ее пересечение с самолет в бесконечности входит в омбилический (кривая на бесконечности уравнения ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$).

В первую очередь необходимо рассмотреть случай, когда пересечение Q с плоскостью на бесконечности состоит из одной или двух действительных прямых, то есть когда Q является либо гиперболический параболоид, а параболический цилиндр или гиперболический цилиндр. В этом случае бесконечно удаленные точки C реальны (пересечение реальной плоскости с реальными линиями). Таким образом, плоские сечения Q не может быть кругов (ни эллипсы ).

Если Q это сфера, ее пересечение с бесконечно удаленной плоскостью является омбилическим, а все плоские сечения - окружностями.

Если Q это поверхность вращения, его пересечение с омбиликом состоит из пары комплексно сопряженный точки (которые двойные очки ). Реальная плоскость содержит эти две точки тогда и только тогда, когда она перпендикулярна оси вращения. Таким образом, круглые сечения представляют собой плоские сечения плоскостью, перпендикулярной оси, которые имеют по крайней мере две действительные точки.

В остальных случаях пересечение Q с омбиликом состоит из двух разных пар комплексно сопряженных точек. В качестве C - кривая степени два, ее пересечение с бесконечно удаленной плоскостью состоит из двух точек, возможно, равных. Кривая C является кругом, если эти две точки являются одной из этих двух пар комплексно сопряженных точек на омбилике. Каждая из этих пар определяет реальную линию (проходящую через точки), которая является пересечением п с плоскостью на бесконечности. Таким образом, круговое сечение есть тогда и только тогда, когда C имеет как минимум две реальные точки и п содержит одну из этих линий на бесконечности (то есть, если п параллельно одному из двух направлений, определяемых этими линиями на бесконечности).

Определение круговых сечений квадрики

Чтобы найти плоскости, которые содержат круговые сечения данной квадрики, используются следующие утверждения:

(S :) Если точки пересечения квадрики с сфера содержатся в паре плоскостей, то кривая пересечения состоит из двух окружностей.

(П:) Если пересечение плоскости и квадрики является окружностью, то любая параллельная плоскость, содержащая как минимум две точки квадрики, также пересекает квадрику по окружности.

Следовательно стратегия для обнаружения круглых сечений это:

1) Найдите сфера, который пересекает квадрику в паре плоскостей и

2) самолеты, которые параллельны обнаруженным, доставляют оставшиеся круглые участки.

Трехосный эллипсоид

трехосный эллипсоид с круговыми сечениями (синий и зеленый) и вспомогательной сферой (красный), которая пересекает квадрику в синих кругах

Эллипсоид, пересекаемый сферами: ${\displaystyle c<{\color {seagreen}r_{1}}<{\color {blue}b}<{\color {purple}r_{2}}<a}$

Для эллипсоида с уравнением

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

и полуоси ${\displaystyle a>b>c>0}$ используется вспомогательная сфера с уравнением

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .}$

Радиус сферы должен быть выбран так, чтобы пересечение с эллипсоидом проходило в двух плоскостях через начало координат. Умножение уравнения эллипсоида на ${\displaystyle r^{2}}$ и вычитание уравнения сферы дает:

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}+\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ .}$

Это уравнение описывает пару плоскостей, если один из трех коэффициентов равен нулю. В случае ${\displaystyle \ r=a\ }$ или же ${\displaystyle \ r=c\ }$ уравнение выполняется только по оси x или оси z. Только в случае ${\displaystyle \ r=b\ }$ получается пара самолетов с уравнением

• ${\displaystyle \left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {b^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\tfrac {c}{a}}{\sqrt {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}-c^{2}}}}\;x\ ,}$

потому что только в этом случае остальные коэффициенты имеют разные знаки (из-за: ${\displaystyle a>b>c}$).

Диаграмма дает представление о более общих пересечениях между сферой и эллипсоидом и выделяет исключительный круговой случай (синий).

Если значения полуосей приближаются, два пучка плоскостей (и окружностей) также приближаются. За ${\displaystyle a=b}$ все плоскости ортогональны оси z (оси вращения).

Доказательство собственности (P):
Поворот эллипсоида вокруг оси y так, чтобы одна из двух окружностей (синяя) лежала в плоскости x-y, приводит к новому уравнению эллипсоида:

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D{\color {red}xz}=E}$

За ${\displaystyle z=0}$ один получает ${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}=E}$, которое должно быть уравнением круга. Это верно, только если ${\displaystyle A=B\neq 0,\ E>0}$. Пересечение эллипсоида плоскостью с уравнением ${\displaystyle z=z_{0}}$, (параллельно плоскости x-y) имеет уравнение

${\displaystyle A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}}$.

Это уравнение описывает круг или точка, или пустой набор. Центр и радиус круга можно найти как завершение квадрата.

Эллиптический гиперболоид из одного листа

гиперболоид одного листа

Для гиперболоид одного листа с уравнением

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,c>0}$

аналогично для пересечения со сферой ${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ }$ уравнение

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ .}$

Только для ${\displaystyle \ r=a\ }$ получается пара самолетов:

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {a^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y\ ,\ }$

Эллиптический цилиндр

эллиптический цилиндр

Для эллиптического цилиндр с уравнением

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,}$

получается уравнение

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ .}$

Только для ${\displaystyle \ r=a\ }$ получается пара самолетов:

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}\;y\ .\ }$

Эллиптический параболоид

эллиптический параболоид

Для эллиптического параболоид с уравнением

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}-z=0\ ,\quad a{\color {red}{<}}b\ ,}$

выбирается сфера, содержащая вершину (начало координат) и с центром на оси (ось z):

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-r)^{2}=r^{2}\quad \leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2rz=0\ .}$

После исключения линейных частей получаем уравнение

${\displaystyle (2ra-1)\;x^{2}+(2rb-1)\;y^{2}-z^{2}=0\ .}$

Только для ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2a}}}$ получается пара самолетов:

${\displaystyle \left({\frac {b}{a}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\sqrt {\frac {b-a}{a}}}\;y\ .\ }$

Эллиптический гиперболоид из двух листов

эллиптический гиперболоид из двух листов

В гиперболоид двух листов с уравнением

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,\ c>0\ ,}$

сначала сдвигается так, что одна вершина является началом координат (см. диаграмму):

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(z+c)^{2}}{c^{2}}}=1\quad \leftrightarrow \quad \ -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}+{\frac {2z}{c}}=0\ .}$

Аналогично случаю параболоида выбирается сфера, содержащая начало координат с центром на оси z:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-r)^{2}=r^{2}\quad \leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2zr=0\ .}$

После исключения линейных частей получаем уравнение

${\displaystyle \left(-{\frac {r}{a^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;x^{2}+\left(-{\frac {r}{b^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {r}{c^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)z^{2}=0\ .}$

Только для ${\displaystyle r={\tfrac {a^{2}}{c}}}$ получается пара самолетов:

${\displaystyle \left(-{\frac {a^{2}}{b^{2}c}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {a^{2}}{c^{3}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y\ .}$

Эллиптический конус

эллиптический конус

Эллиптический конус с уравнением

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}=0\ ,\quad a>b\ ,}$

сдвинут так, что вершина нет происхождение (см. диаграмму):

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-(z-1)^{2}=0\quad \leftrightarrow \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}+2z=1.}$

Теперь подходит сфера с центром в начале координат:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .}$

Устранение ${\displaystyle x^{2}}$ дает:

${\displaystyle ({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1)\;y^{2}-(1+a^{2})\;z^{2}+2a^{2}z=a^{2}-r^{2}\ .}$

В этом случае завершение квадрата дает:

${\displaystyle {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\;y^{2}-(1+a^{2})\left(z-{\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\right)^{2}=a^{2}-{\frac {a^{4}}{1+a^{2}}}-r^{2}\ .}$

Чтобы получить уравнение пары плоскостей, правая часть уравнения должна быть равна нулю, что верно для ${\displaystyle r={\tfrac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\ .}$Решение для z дает:

${\displaystyle z={\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\pm {\frac {1}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{1+a^{2}}}}\;y\ .}$

Рекомендации

• Х. Ф. Бейкер: Принципы геометрии, Том 3, Cambridge University Press, 2010 г., ISBN  978-1-108-01779-4.
• Д. М. Ю. Соммервиль: Аналитическая геометрия трех измерений, Издательство Кембриджского университета, 1959 г., ISBN  978-1-316-60190-7, п. 204.
• К. П. Гротемейер: Analytische Geometrie. Göschen-Verlag, 1962, стр. 143.
• Х. Шайд, В. Шварц: Elemente der Linearen алгебра и анализ. Spektrum, Гейдельберг, 2009 г., ISBN  978-3-8274-1971-2, п. 132.

1. В. Х. Вестфаль: Physikalisches Wörterbuch: Zwei Teile in Einem Band. Springer-Verlag, 1952 г., ISBN  978-3-662-12707-0, п. 350.
2. Х. Терч: Die Festigkeitserscheinungen der Kristalle. Springer-Verlag, Вена, 1949 г., ISBN  978-3-211-80120-8, п. 87.
3. Г. Мазинг: Lehrbuch der Allgemeinen Metallkunde. Шпрингер-Верлаг, Берлин, 1950, ISBN  978-3-642-52-993-1, п. 355.

внешняя ссылка

• Х. Винер, П. Трейтлейн: модели трехосного эллипсоида и эллиптического параболоида с использованием круговых сечений (см. Стр. 15) [1] (PDF).