Круг сферы - Circle of a sphere

Маленький круг сферы.

{ Displaystyle BC ^ {2} = AB ^ {2} + AC ^ {2}}

, куда C центр сферы, А это центр маленького круга, а B точка на границе маленького круга. Следовательно, зная радиус сферы и расстояние от плоскости малого круга до C, радиус малого круга можно определить с помощью теоремы Пифагора.

А круг сферы круг, лежащий на сфера. Такой круг может быть образован как пересечение сфера и самолет, или двух сфер. Круг на сфере, плоскость которого проходит через центр сферы, называется большой круг; в противном случае это маленький круг. Круги сферы имеют радиус меньше или равный радиусу сферы, с равенством, когда круг является большим кругом.

На земле

в географическая система координат на земном шаре параллели широта маленькие кружки с Экватор единственный большой круг. Напротив, все меридианы долгота, в паре со своим противоположным меридианом в другом полушарие, образуют большие круги.

Связанная терминология

Диаметр сферы, проходящей через центр круга, называется ее диаметром. ось а концы этого диаметра называются его полюса. А круг сферы также можно определить как набор точек в заданном угловое расстояние с заданного полюса.

Пересечение сферы и плоскости

Когда пересечение сферы и плоскости не пусто или не единственная точка, это круг. Это можно увидеть следующим образом:

Позволять S быть сферой с центром О, п плоскость, которая пересекает S. Рисовать OE перпендикулярно п и встреча п в E. Позволять А и B - любые две разные точки на пересечении. потом АОЕ и BOE прямоугольные треугольники с общей стороной, OE, и гипотенузы АО и BO равный. Поэтому оставшиеся стороны AE и БЫТЬ равны. Это доказывает, что все точки пересечения находятся на одинаковом расстоянии от точки E в плоскости п, другими словами, все точки пересечения лежат на окружности C с центром E.^[1] Это доказывает, что пересечение п и S содержится в C. Обратите внимание, что OE ось круга.

Теперь рассмотрим точку D круга C. С C лежит в птак делает D. С другой стороны, треугольники АОЕ и DOE прямоугольные треугольники с общей стороной, OE, и ноги EA и ED равный. Следовательно, гипотенузы АО и ДЕЛАТЬ равны и равны радиусу S, так что D лежит в S. Это доказывает, что C содержится в пересечении п и S.

Как следствие, на сфере есть ровно один круг, который можно провести через три заданные точки.^[2]

Доказательство может быть расширено, чтобы показать, что все точки круга находятся на общем угловом расстоянии от одного из его полюсов.^[3]

Сфера-сфера пересечения

Чтобы показать, что нетривиальное пересечение двух сфер представляет собой круг, предположим (без ограничения общности), что одна сфера (с радиусом ${ displaystyle R}$ ) с центром в начале координат. Точки на этой сфере удовлетворяют

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2}.}

Также без ограничения общности предположим, что вторая сфера с радиусом ${ displaystyle r}$ , центрируется в точке на положительной оси x на расстоянии ${ displaystyle a}$ от происхождения. Его точки удовлетворяют

{ displaystyle (x-a) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}.}

Пересечение сфер - это множество точек, удовлетворяющих обоим уравнениям. Вычитание уравнений дает

{ displaystyle { begin {align} (xa) ^ {2} -x ^ {2} & = r ^ {2} -R ^ {2} a ^ {2} -2ax & = r ^ {2} -R ^ {2} x & = { frac {a ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2}} {2a}}. End {выравнивается}}}

В единственном случае ${ displaystyle a = 0}$ , сферы концентрические. Есть две возможности: если ${ Displaystyle R = r}$ , сферы совпадают, а пересечение - вся сфера; если ${ Displaystyle R not = r}$ , сферы не пересекаются, а пересечение пусто. а отличен от нуля, пересечение лежит в вертикальной плоскости с этой координатой x, которая может пересекать обе сферы, касаться обеих сфер или внешне по отношению к обеим сферам. Результат следует из предыдущего доказательства для пересечений сфера-плоскость.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Sykes, M .; Комсток, C.E. (1922). Твердая геометрия. Рэнд МакНелли. стр.81 ff.

[1] Доказательство следует из предложения Хоббса 304.

[2] Хоббс, проп.308

[3] Хоббс, проп.310

[1]

[2]

[3]