Максимальное неравенство Христа – Киселева - Christ–Kiselev maximal inequality

В математике Максимальное неравенство Христа – Киселева это максимальное неравенство за фильтрации, названный в честь математиков Михаила Христа и Александра Киселева.^[1]

Непрерывная фильтрация

А непрерывная фильтрация из ${\displaystyle (M,\mu )}$ семейство измеримых множеств ${\displaystyle \{A_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathbb {R} }}$ такой, что

1. ${\displaystyle A_{\alpha }\nearrow M}$, ${\displaystyle \bigcap _{\alpha \in \mathbb {R} }A_{\alpha }=\emptyset }$, и ${\displaystyle \mu (A_{\beta }\setminus A_{\alpha })<\infty }$ для всех ${\displaystyle \beta >\alpha }$ (стратификационный)
2. ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\mu (A_{\alpha +\varepsilon }\setminus A_{\alpha })=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\mu (A_{\alpha }\setminus A_{\alpha +\varepsilon })=0}$ (преемственность)

Например, ${\displaystyle \mathbb {R} =M}$ с мерой ${\displaystyle \mu }$ что не имеет чистых точек и

${\displaystyle A_{\alpha }:={\begin{cases}\{|x|\leq \alpha \},&\alpha >0,\\\emptyset ,&\alpha \leq 0.\end{cases}}}$

это непрерывная фильтрация.

Версия Continuum

Позволять ${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$ и предположим ${\displaystyle T:L^{p}(M,\mu )\to L^{q}(N,\nu )}$ это ограниченный линейный оператор за ${\displaystyle \sigma -}$конечный ${\displaystyle (M,\mu ),(N,\nu )}$. Определим максимальную функцию Христа – Киселева.

${\displaystyle T^{*}f:=\sup _{\alpha }|T(f\chi _{\alpha })|,}$

куда ${\displaystyle \chi _{\alpha }:=\chi _{A_{\alpha }}}$. потом ${\displaystyle T^{*}:L^{p}(M,\mu )\to L^{q}(N,\nu )}$ - ограниченный оператор, а

${\displaystyle \|T^{*}f\|_{q}\leq 2^{-(p^{-1}-q^{-1})}(1-2^{-(p^{-1}-q^{-1})})^{-1}\|T\|\|f\|_{p}.}$

Дискретная версия

Позволять ${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$, и предположим ${\displaystyle W:\ell ^{p}(\mathbb {Z} )\to L^{q}(N,\nu )}$ - линейный ограниченный оператор для ${\displaystyle \sigma -}$конечный ${\displaystyle (M,\mu ),(N,\nu )}$. Определить, для ${\displaystyle a\in \ell ^{p}(\mathbb {Z} )}$,

${\displaystyle (\chi _{n}a):={\begin{cases}a_{k},&|k|\leq n\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

и ${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {Z} ^{\geq 0}}|W(\chi _{n}a)|=:W^{*}(a)}$. потом ${\displaystyle W^{*}:\ell ^{p}(\mathbb {Z} )\to L^{q}(N,\nu )}$ - ограниченный оператор.

Здесь, ${\displaystyle A_{\alpha }={\begin{cases}[-\alpha ,\alpha ],&\alpha >0\\\emptyset ,&\alpha \leq 0\end{cases}}}$.

Дискретная версия может быть доказана из континуальной версии путем построения ${\displaystyle T:L^{p}(\mathbb {R} ,dx)\to L^{q}(N,\nu )}$.^[2]

Приложения

Максимальное неравенство Христа – Киселева имеет приложения к преобразование Фурье и сближение Ряд Фурье, а также к изучению операторов Шредингера.^[1][2]

Рекомендации

1. М. Христос, А. Киселев, Максимальные функции, связанные с фильтрациями. J. Funct. Анальный. 179 (2001), нет. 2, 409-425. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-05-14. Получено 2014-05-12.
2. Глава 9 - Гармонический анализ «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-05-13. Получено 2014-05-12.