Граница Чепмена – Роббинса - Chapman–Robbins bound

В статистика, то Граница Чепмена – Роббинса или же Граница Хаммерсли – Чепмена – Роббинса является нижней границей отклонение из оценщики детерминированного параметра. Это обобщение Граница Крамера – Рао; по сравнению с границей Крамера – Рао, она более точна и применима к более широкому кругу задач. Однако вычислить обычно сложнее.

Граница была независимо открыта Джон Хаммерсли в 1950 г.^[1] и Дугласом Чепменом и Герберт Роббинс в 1951 г.^[2]

Заявление

Позволять θ ∈ р^п - неизвестный детерминированный параметр, и пусть Икс ∈ р^k быть случайной величиной, интерпретируемой как измерение θ. Предположим, что функция плотности вероятности из Икс дан кем-то п(Икс; θ). Предполагается, что п(Икс; θ) корректно определено и что п(Икс; θ) > 0 для всех значений Икс и θ.

Предполагать δ(Икс) является беспристрастный оценка произвольной скалярной функции грамм: р^п → р из θ, т.е.

${\displaystyle \operatorname {E} _{\theta }\{\delta (X)\}=g(\theta ){\text{ for all }}\theta .\,}$

Тогда оценка Чепмена – Роббинса утверждает, что

${\displaystyle \operatorname {Var} _{\theta }(\delta (X))\geq \sup _{\Delta }{\frac {\left[g(\theta +\Delta )-g(\theta )\right]^{2}}{\operatorname {E} _{\theta }\left[{\tfrac {p(X;\theta +\Delta )}{p(X;\theta )}}-1\right]^{2}}}.}$

Обратите внимание, что знаменатель в приведенной выше нижней оценке в точности равен ${\displaystyle \chi ^{2}}$-расхождение из ${\displaystyle p(\cdot ;\theta +\Delta )}$ относительно ${\displaystyle p(\cdot ;\theta )}$.

Связь с границей Крамера – Рао

Выражение внутри супремума в оценке Чепмена – Роббинса сходится к Граница Крамера – Рао когда Δ → 0в предположении выполнения условий регулярности границы Крамера – Рао. Это означает, что, когда существуют обе границы, версия Чепмена – Роббинса всегда по крайней мере такая же точная, как граница Крамера – Рао; во многих случаях он значительно жестче.

Оценка Чепмена – Роббинса верна и при гораздо более слабых условиях регулярности. Например, не делается никаких предположений относительно дифференцируемости функции плотности вероятности п(Икс; θ). Когда п(Икс; θ) недифференцируема, Информация Fisher не определено, поэтому граница Крамера – Рао не существует.

Смотрите также

• Граница Крамера – Рао
• Теория оценок

Рекомендации

1. Хаммерсли, Дж. М. (1950), «Об оценке ограниченных параметров», Журнал Королевского статистического общества, Серия B, 12 (2): 192–240, JSTOR  2983981, МИСТЕР  0040631
2. Chapman, D.G .; Роббинс, Х. (1951), «Оценка минимальной дисперсии без предположений регулярности», Анналы математической статистики, 22 (4): 581–586, Дои:10.1214 / aoms / 1177729548, JSTOR  2236927, МИСТЕР  0044084

дальнейшее чтение

• Lehmann, E. L .; Казелла, Г. (1998), Теория точечного оценивания (2-е изд.), Springer, стр. 113–114, ISBN  0-387-98502-6