Уравнения Чандрасекара – Пейджа - Chandrasekhar–Page equations

Уравнения Чандрасекара – Пейджа описывают волновую функцию вращение-1/2 массивные частицы, что привело к поиску разделимого решения Уравнение Дирака в Метрика Керра или Метрика Керра – Ньюмана. В 1976 г. Субраманян Чандрасекар показал, что разделимое решение может быть получено из Уравнение Дирака в Метрика Керра.^[1] Позже, Дон Пейдж расширил эту работу на Метрика Керра-Ньюмана, что применимо к заряженным черным дырам.^[2] В своей статье Пейдж отмечает, что Н. Тоуп также получил свои результаты независимо, о чем ему сообщил Чандрасекар.

Принимая разложение по нормальному режиму в виде ${\displaystyle e^{i(\omega t+m\phi )}}$ для времени и азимутальной составляющей сферических полярных координат ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$, Чандрасекар показал, что четыре биспинор компоненты могут быть выражены как произведение радиальной и угловой функций. Две радиальные и угловые функции соответственно обозначаются ${\displaystyle R_{+{\frac {1}{2}}}(r)}$, ${\displaystyle R_{-{\frac {1}{2}}}(r)}$ и ${\displaystyle S_{+{\frac {1}{2}}}(\theta )}$, ${\displaystyle S_{-{\frac {1}{2}}}(\theta )}$. Энергия, измеренная на бесконечности, равна ${\displaystyle \omega }$ а осевой угловой момент равен ${\displaystyle m}$ что является полуцелым числом.

Угловые уравнения Чандрасекара – Пейджа

Угловые функции удовлетворяют связанным уравнениям на собственные значения:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}S_{+{\frac {1}{2}}}&=-(\lambda -a\mu \cos \theta )S_{-{\frac {1}{2}}},\\{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}^{\dagger }S_{-{\frac {1}{2}}}&=+(\lambda +a\mu \cos \theta )S_{+{\frac {1}{2}}},\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}+Q+{\frac {\cot \theta }{2}},\quad {\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}^{\dagger }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}-Q+{\frac {\cot \theta }{2}}}$

и ${\displaystyle Q=a\omega \sin \theta +m\csc \theta }$. Вот ${\displaystyle a}$ это угловой момент на единицу массы черной дыры и ${\displaystyle \mu }$ это масса покоя частицы. Устранение ${\displaystyle S_{+1/2}(\theta )}$ между двумя предыдущими уравнениями получаем

${\displaystyle \left({\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}^{\dagger }+{\frac {a\mu \sin \theta }{\lambda +a\mu \cos \theta }}{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}^{\dagger }+\lambda ^{2}-a^{2}\mu ^{2}\cos ^{2}\theta \right)S_{-{\frac {1}{2}}}=0.}$

Функция ${\displaystyle S_{+{\frac {1}{2}}}}$ удовлетворяет сопряженному уравнению, которое может быть получено из приведенного выше уравнения заменой ${\displaystyle \theta }$ с участием ${\displaystyle \pi -\theta }$. Граничные условия для этих дифференциальных уравнений второго порядка таковы, что ${\displaystyle S_{-{\frac {1}{2}}}}$(и ${\displaystyle S_{+{\frac {1}{2}}}}$) быть регулярным в ${\displaystyle \theta =0}$ и ${\displaystyle \theta =\pi }$. Представленная здесь задача на собственные значения в общем случае требует численного интегрирования для ее решения. Явные решения доступны для случая, когда ${\displaystyle \omega =\mu }$.^[4]

использованная литература

1. Чандрасекхар, С. (1976-06-29). «Решение уравнения Дирака в геометрии Керра». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки. Королевское общество. 349 (1659): 571–575. Bibcode:1976RSPSA.349..571C. Дои:10.1098 / RSPA.1976.0090. ISSN  2053-9169. S2CID  122791570.
2. Пейдж, Дон Н. (1976-09-15). «Уравнение Дирака вокруг заряженной вращающейся черной дыры». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 14 (6): 1509–1510. Bibcode:1976ПхРвД..14.1509П. Дои:10.1103 / Physrevd.14.1509. ISSN  0556-2821.
3. Чандрасекхар, С., (1983). Математическая теория черных дыр. Clarenden Press, Раздел 104
4. Чакрабарти, С. К. (9 января 1984 г.). «О масс-зависимых сфероидальных гармониках спина половинной». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки. Королевское общество. 391 (1800): 27–38. Bibcode:1984RSPSA.391 ... 27C. Дои:10.1098 / RSPA.1984.0002. ISSN  2053-9169. JSTOR  2397528. S2CID  120673756.