Уравнение белого карлика чандрасекхара - Chandrasekhars white dwarf equation

В астрофизика, Уравнение белого карлика Чандрасекара начальное значение обыкновенное дифференциальное уравнение представленный Индийский американец астрофизик Субраманян Чандрасекар,^[1] в своем исследовании гравитационного потенциала полностью вырожденных белый Гном звезды. Уравнение читается как^[2]

{ displaystyle { frac {1} { eta ^ {2}}} { frac {d} {d eta}} left ( eta ^ {2} { frac {d varphi} {d eta}} right) + ( varphi ^ {2} -C) ^ {3/2} = 0}

с начальными условиями

{ Displaystyle varphi (0) = 1, quad varphi '(0) = 0}

куда ${ displaystyle varphi}$ измеряет плотность белого карлика, ${ displaystyle eta}$ это безразмерный радиальное расстояние от центра и ${ displaystyle C}$ - постоянная, связанная с плотностью белого карлика в центре. Граница ${ displaystyle eta = eta _ { infty}}$ уравнения определяется условием

{ displaystyle varphi ( eta _ { infty}) = { sqrt {C}}.}

такой, что диапазон ${ displaystyle varphi}$ становится ${ Displaystyle { sqrt {C}} leq varphi leq 1}$ . Это условие эквивалентно тому, что плотность равна нулю при ${ displaystyle eta = eta _ { infty}}$ .

Вывод

Из квантовой статистики полностью вырожденного электронного газа (заняты все нижние квантовые состояния) давление и плотность белого карлика дается

{ Displaystyle P = Af (x), quad rho = Bx ^ {3}}

куда

{ displaystyle { begin {align} & A = 6.01 times 10 ^ {22}, B = 9.82 times 10 ^ {5} mu _ {e}, & f (x) = x (2x ^ { 2} -3) (x ^ {2} +1) ^ {1/2} +3 sinh ^ {- 1} x, end {align}}}

куда ${ displaystyle mu _ {e}}$ - средний молекулярный вес газа. Когда это подставляется в уравнение гидростатического равновесия

{ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} { frac {d} {dr}} left ({ frac {r ^ {2}} { rho}} { frac {dP } {dr}} right) = - 4 pi G rho}

куда ${ displaystyle G}$ это гравитационная постоянная и ${ displaystyle r}$ - радиальное расстояние, получаем

{ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} { frac {d} {dr}} left (r ^ {2} { frac {d { sqrt {x ^ {2} + 1}}} {dr}} right) = - { frac { pi GB ^ {2}} {2A}} x ^ {3}}

и позволяя ${ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {2} +1}$ , у нас есть

{ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} { frac {d} {dr}} left (r ^ {2} { frac {dy} {dr}} right) = - { frac { pi GB ^ {2}} {2A}} (y ​​^ {2} -1) ^ {3/2}}

Если обозначить плотность в начале координат как ${ displaystyle rho _ {o} = Bx_ {o} ^ {3} = B (y_ {o} ^ {2} -1) ^ {3/2}}$ , то безразмерный масштаб

{ displaystyle r = left ({ frac {2A} { pi GB ^ {2}}} right) ^ {1/2} { frac { eta} {y_ {o}}}, quad y = y_ {o} varphi}

дает

{ displaystyle { frac {1} { eta ^ {2}}} { frac {d} {d eta}} left ( eta ^ {2} { frac {d varphi} {d eta}} right) + ( varphi ^ {2} -C) ^ {3/2} = 0}

куда ${ displaystyle C = 1 / y_ {o} ^ {2}}$ . Другими словами, как только вышеприведенное уравнение решено, плотность определяется как

{ displaystyle rho = By_ {o} ^ {3} left ( varphi ^ {2} - { frac {1} {y_ {o} ^ {2}}} right) ^ {3/2} .}

Затем можно рассчитать внутреннюю массу до указанной точки.

{ Displaystyle M ( eta) = - { frac {4 pi} {B ^ {2}}} left ({ frac {2A} { pi G}} right) ^ {3/2} eta ^ {2} { frac {d varphi} {d eta}}.}.

Отношение радиуса к массе белого карлика обычно строят на плоскости ${ displaystyle eta _ { infty}}$ - ${ Displaystyle М ( eta _ { infty})}$ .

Решение возле начала координат

По соседству с источником ${ displaystyle eta ll 1}$ , Чандрасекар представил асимптотическое разложение как

{ displaystyle { begin {align} varphi = {} & 1 - { frac {q ^ {3}} {6}} eta ^ {2} + { frac {q ^ {4}} {40} } eta ^ {4} - { frac {q ^ {5} (5q ^ {2} +14)} {7!}} eta ^ {6} [6pt] & {} + { frac {q ^ {6} (339q ^ {2} +280)} {3 times 9!}} eta ^ {8} - { frac {q ^ {7} (1425q ^ {4} + 11346q ^ { 2} +4256)} {5 times 11!}} Eta ^ {10} + cdots end {align}}}

куда ${ displaystyle q ^ {2} = C-1}$ . Он также предоставил численные решения для диапазона ${ displaystyle C = 0,01–0,8}$ .

Уравнение для малых центральных плотностей

Когда центральная плотность ${ displaystyle rho _ {o} = Bx_ {o} ^ {3} = B (y_ {o} ^ {2} -1) ^ {3/2}}$ мала, уравнение сводится к Уравнение Лейна-Эмдена путем введения

{ displaystyle xi = { sqrt {2}} eta, qquad theta = varphi ^ {2} -C = varphi ^ {2} -1 + x_ {o} ^ {2} + O ( x_ {o} ^ {4})}

чтобы получить в ведущем порядке следующее уравнение

{ displaystyle { frac {1} { xi ^ {2}}} { frac {d} {d xi}} left ( xi ^ {2} { frac {d theta} {d xi}} right) = - theta ^ {3/2}}

подвергнутый условиям ${ displaystyle theta (0) = x_ {o} ^ {2}}$ и ${ displaystyle theta '(0) = 0}$ . Обратите внимание, что хотя уравнение сводится к Уравнение Лейна-Эмдена с индексом политропы ${ displaystyle 3/2}$ , начальное условие не является условием уравнения Лейна-Эмдена.

Предельная масса для больших центральных плотностей

Когда центральная плотность становится большой, т.е. ${ displaystyle y_ {o} rightarrow infty}$ или эквивалентно ${ displaystyle C rightarrow 0}$ , основное уравнение сводится к

{ displaystyle { frac {1} { eta ^ {2}}} { frac {d} {d eta}} left ( eta ^ {2} { frac {d varphi} {d eta}} right) = - varphi ^ {3}}

подвергнутый условиям ${ displaystyle varphi (0) = 1}$ и ${ Displaystyle varphi '(0) = 0}$ . Это как раз то Уравнение Лейна-Эмдена с индексом политропы ${ displaystyle 3}$ . Обратите внимание, что в этом пределе больших плотностей радиус