Теория возмущений резонатора - Cavity perturbation theory

Полость теория возмущений описывает методы вывода возмущение формулы для изменения производительности объемного резонатора.

Предполагается, что эти изменения производительности вызваны либо попаданием в полость небольшого постороннего предмета, либо небольшой деформацией ее границы.

Различные математические методы могут быть использованы для изучения характеристик резонаторов, которые важны в области микроволновых систем и, в более общем плане, в области электромагнетизма.

Объемные резонаторы находят множество промышленных применений, включая микроволновые печи, системы микроволновой связи и системы удаленной визуализации, использующие электромагнитные волны.

То, как работает резонансная полость, может повлиять на количество энергии, необходимое для ее резонанса, а также на относительную стабильность или нестабильность системы.

Вступление

Когда резонансная полость возмущена, например путем введения в полость постороннего предмета с отчетливыми свойствами материала или при небольшом изменении формы полости, электромагнитные поля внутри полости изменится соответственно. Это означает, что все резонансные моды (т.е. квазинормальный режим ) невозмущенного резонатора незначительно меняются. Аналитическое предсказание того, как возмущение изменяет оптический отклик, является классической задачей в электромагнетизме, с важными последствиями, простирающимися от радиочастотной области до современной нанооптики. Основное предположение теории возмущений полости состоит в том, что электромагнитные поля внутри полости после изменения отличаются на очень небольшую величину от полей до изменения. потом Уравнения Максвелла для исходных и возмущенных резонаторов можно использовать для вывода аналитических выражений для результирующего сдвига резонансной частоты и изменения ширины линии (или Добротность change), обращаясь только к исходной невозмущенной моде (а не к возмущенной).

Общая теория

Частоты резонатора удобно обозначать комплексным числом ${\displaystyle {\tilde {\omega }}=\omega -i\gamma /2}$, куда ${\displaystyle \omega =Re({\tilde {\omega }})}$ это угловая резонансная частота и ${\displaystyle \gamma =2Im({\tilde {\omega }})}$ - величина, обратная времени жизни моды. Теория возмущений резонатора была первоначально предложена Бете-Швингером в оптике. ^[1], и Уолдрон в радиочастотной области.^[2] Эти начальные подходы основаны на формулах, которые учитывают запасенную энергию

${\displaystyle {\frac {{\tilde {\omega }}-{\tilde {\omega }}_{0}}{{\tilde {\omega }}_{0}}}\thickapprox -{\frac {\iiint _{V}(\mu _{0}|H_{0}|^{2}+\Delta \epsilon |E_{0}|^{2})dv}{\iiint _{V}(\mu _{0}|H_{0}|^{2}+\epsilon |E_{0}|^{2})dv}}\,}$

(1)

куда ${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$ и ${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{0}}$ - комплексные частоты возмущенной и невозмущенной мод резонатора, а ${\displaystyle H_{0}}$ и ${\displaystyle E_{0}}$ - электромагнитные поля невозмущенной моды (изменение проницаемости для простоты не рассматривается). Выражение (1) полагается на соображения накопленной энергии. Последние интуитивно понятны, поскольку здравый смысл подсказывает, что максимальное изменение резонансной частоты происходит, когда возмущение помещается на максимум интенсивности моды резонатора. Однако учет энергии в электромагнетизме справедлив только для эрмитовых систем, для которых сохраняется энергия. Для полостей энергия сохраняется только в пределе очень небольшой утечки (бесконечные Q), так что выражение (1) действует только в этом пределе. Например, очевидно, что выражение (1) предсказывает изменение добротности (${\displaystyle Im({\tilde {\omega }}-{\tilde {\omega }}_{0})}$) только если ${\displaystyle \Delta \epsilon }$ является сложным, т.е. только если возмущающий элемент является абсорбирующим. Ясно, что это не так, и хорошо известно, что диэлектрическое возмущение может увеличивать или уменьшать добротность.

Проблемы возникают из-за того, что резонатор - это открытая неэрмитова система с утечкой и поглощением. Теория неэрмитовых электромагнитных систем отказывается от энергии, т.е. ${\displaystyle |E.E|}$ продукты, и, скорее, фокусируется на ${\displaystyle E.E}$ товары ^[3] это комплексные величины, мнимая часть которых связана с утечкой. Чтобы подчеркнуть разницу между нормальными модами эрмитовых систем и резонансными модами вытекающих систем, резонансные моды часто называют квазинормальный режим. В этой схеме частотный сдвиг и изменение Q предсказываются

${\displaystyle {\frac {{\tilde {\omega }}-{\tilde {\omega }}_{0}}{{\tilde {\omega }}_{0}}}\thickapprox -{\frac {\iiint _{V}(\mu _{0}H_{0}^{2}+\Delta \epsilon E_{0}^{2})dv}{\iiint _{V}(\mu _{0}H_{0}^{2}+\epsilon E_{0}^{2})dv}}\,}$

(2)

Точность основного уравнения 2 был проверен во множестве сложных геометрий. Для резонаторов с низкой добротностью, таких как плазмонные нанорезонаторы, которые используются для зондирования, уравнение 2 Было показано, что с высокой точностью предсказывается как сдвиг, так и уширение резонанса, тогда как уравнение 1 неточно предсказывает и то, и другое.^[4] Для фотонных резонаторов с высокой добротностью, таких как фотонный кристалл полости или микрокольца, эксперименты подтвердили, что уравнение 2 точно предсказывает как сдвиг, так и изменение Q, тогда как уравнение 1 только предсказывает сдвиг.^[5]Следующее написано с ${\displaystyle |E.E|}$ продукты, но лучше понять ${\displaystyle E.E}$ продукты квазинормальный режим теория.

Материальное возмущение

Возмущение материала полости

Когда материал внутри полости изменяется (диэлектрическая проницаемость и / или проницаемость ) соответствующее изменение резонансной частоты можно аппроксимировать как:^[6]

${\displaystyle {\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox -{\frac {\iiint _{V}(\Delta \mu |H_{0}|^{2}+\Delta \epsilon |E_{0}|^{2})dv}{\iiint _{V}(\mu |H_{0}|^{2}+\epsilon |E_{0}|^{2})dv}}\,}$

(3)

куда ${\displaystyle \omega }$ это угловатый резонансная частота возмущенной полости, ${\displaystyle \omega _{0}}$ резонансная частота исходной полости, ${\displaystyle E_{0}}$ и ${\displaystyle H_{0}}$ представляют оригинал электрический и магнитное поле соответственно, ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \epsilon }$ оригинальные проницаемость и диэлектрическая проницаемость соответственно, а ${\displaystyle \Delta \mu }$ и ${\displaystyle \Delta \epsilon }$ изменения исходной проницаемости и диэлектрическая проницаемость внесены материальными изменениями.

Выражение (3) можно переписать в терминах накопленная энергия в качестве:^[7]

${\displaystyle {\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox -{\frac {1}{W}}\iiint _{V}({\frac {\Delta \epsilon }{\epsilon }}\cdot {\bar {w_{e}}}+{\frac {\Delta \mu }{\mu }}\cdot {\bar {w_{m}}})dv\,}$

(4)

где W - полная энергия, запасенная в исходном резонаторе, а ${\displaystyle {\bar {w_{e}}}}$ и ${\displaystyle {\bar {w_{m}}}}$ находятся электрический и магнитная энергия плотности соответственно.

Возмущение формы

Нарушение формы полости

При изменении общей формы резонансной полости соответствующее изменение резонансной частоты можно приблизительно представить как:^[6]

${\displaystyle {\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox {\frac {\iiint _{\Delta V}(\mu |H_{0}|^{2}-\epsilon |E_{0}|^{2})dv}{\iiint _{V}(\mu |H_{0}|^{2}+\epsilon |E_{0}|^{2})dv}}\,}$

(5)

Выражение (5) для изменения резонансной частоты можно дополнительно записать в терминах средней по времени сохраненной энергии как:^[6]

${\displaystyle {\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox {\frac {\Delta W_{m}-\Delta W_{e}}{W_{m}+W_{e}}}\,}$

(6)

куда ${\displaystyle \Delta W_{m}}$ и ${\displaystyle \Delta W_{e}}$ представляют собой среднее по времени электрический и магнитный энергии, содержащиеся в ${\displaystyle \Delta V}$.

Это выражение также можно записать через плотности энергии ^[7] в качестве:

${\displaystyle {\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox {\frac {({\bar {w_{m}}}-{\bar {w_{e}}})\cdot \Delta V}{W}}\,}$

(7)

Значительное повышение точности предсказательной силы уравнения (5) можно получить, добавив поправки на локальное поле,^[4] который просто является результатом интерфейсные условия для электромагнитных полей которые различны для векторов поля смещения и электрического поля на границах формы.

Приложения

Методы микроволновых измерений, основанные на теории возмущений резонатора, обычно используются для определения диэлектрических и магнитных параметров материалов и различных компонентов схемы, таких как диэлектрические резонаторы. Поскольку предварительное знание резонансной частоты, сдвига резонансной частоты и электромагнитные поля Это необходимо для экстраполяции свойств материала, эти методы измерения обычно используют стандартные резонансные полости, где резонансные частоты и электромагнитные поля хорошо известны. Два примера таких стандартных резонаторов - прямоугольная и круглая. волновод полости и коаксиальные кабели резонаторы. Методы измерения возмущений резонатора для определения характеристик материалов используются во многих областях, от физики и материаловедения до медицины и биологии.^{[8][9][10][11][12][13]}

Примеры

${\displaystyle TE_{10n}}$ прямоугольный волноводный резонатор

Образец материала введен в резонатор прямоугольного волновода.

Для резонатора прямоугольного волновода распределение поля доминирующих ${\displaystyle TE_{10n}}$ режим хорошо известен. В идеале измеряемый материал вводится в полость в месте максимального электрического или магнитного поля. Когда материал вводится в положение максимального электрического поля, тогда вклад магнитного поля в возмущенный сдвиг частоты очень мал, и им можно пренебречь. В этом случае мы можем использовать теорию возмущений, чтобы получить выражения для реальных и мнимых компонентов сложного материала. диэлектрическая проницаемость ${\displaystyle \epsilon _{r}=\epsilon _{r}'+j\epsilon _{r}''}$ в качестве:^[7]

${\displaystyle \epsilon _{r}'-1={\frac {f_{c}-f_{s}}{2f_{s}}}{\frac {V_{c}}{V_{s}}}\,}$

(8)

${\displaystyle \epsilon _{r}''={\frac {V_{c}}{4V_{s}}}{\frac {Q_{c}-Q_{s}}{Q_{c}Q_{s}}}\,}$

(9)

куда ${\displaystyle f_{c}}$ и ${\displaystyle f_{s}}$ представляют резонансные частоты исходной полости и возмущенной полости соответственно, ${\displaystyle V_{c}}$ и ${\displaystyle V_{s}}$ представляют объемы исходной полости и образца материала соответственно, ${\displaystyle Q_{c}}$ и ${\displaystyle Q_{s}}$ представлять факторы качества исходной и возмущенной полостей соответственно.

Как только комплексная диэлектрическая проницаемость материала известна, мы можем легко вычислить ее эффективную проводимость ${\displaystyle \sigma _{e}}$ и диэлектрик тангенс угла потерь ${\displaystyle \tan \delta }$ в качестве:^[7]

${\displaystyle \sigma _{e}=\omega \epsilon ''=2\pi f\epsilon _{0}\epsilon _{r}''\,}$

(10)

${\displaystyle tan\delta ={\frac {\epsilon _{r}''}{\epsilon _{r}'}}\,}$

(11)

где f - интересующая частота, а ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ - диэлектрическая проницаемость в свободном пространстве.

Точно так же, если материал вводится в полость в положении максимального магнитного поля, то вклад электрического поля в возмущенный частотный сдвиг очень мал, и им можно пренебречь. В этом случае мы можем использовать теорию возмущений, чтобы получить выражения для сложного материала проницаемость ${\displaystyle \mu _{r}=\mu _{r}'+j\mu _{r}''}$ в качестве:^[7]

${\displaystyle \mu _{r}'-1=({\frac {\lambda _{g}^{2}+4a^{2}}{8a^{2}}})({\frac {f_{c}-f_{s}}{f_{s}}})({\frac {V_{c}}{V_{s}}})\,}$

(12)

${\displaystyle \mu _{r}''=({\frac {\lambda _{g}^{2}+4a^{2}}{16a^{2}}})({\frac {V_{c}}{V_{s}}})({\frac {Q_{c}-Q_{s}}{Q_{c}Q_{s}}})\,}$

(13)

куда ${\displaystyle \lambda _{g}}$ - длина направляющей волны (рассчитывается как ${\displaystyle \lambda _{g}={\frac {2l}{n}}}$).

Рекомендации

1. Bethe, H.A .; Швингер, Дж. (2018). «Теория возмущений для резонаторов». N.D.R.C. RPT. D1-117 Корнельский университет. 12: 1700113. arXiv:1705.02433. Дои:10.1002 / lpor.201700113. S2CID  51695476.
2. Уолдрон, Р. А. (сентябрь 1960 г.). «Теория возмущений резонансных резонаторов». Proc. Inst. Электр. Англ.. 107 (C): 272–274. Дои:10.1049 / pi-c.1960.0041.
3. Lalanne, P .; Yan, W .; Винк, К .; Sauvan, C .; Хугонин, Ж.-П. (2018-04-17). «Взаимодействие света с фотонным и плазмонным резонансами». Обзоры лазеров и фотоники. 12 (5): 1700113. arXiv:1705.02433. Bibcode:2018ЛПРв ... 1200113Л. Дои:10.1002 / lpor.201700113. S2CID  51695476.
4. Yang, J .; Giessen, H .; Лаланн, П. (2015-04-06). "Простое аналитическое выражение для частотных сдвигов плазмонных резонансов для зондирования". Нано буквы. 15 (5): 3439–3444. arXiv:1505.04877. Bibcode:2015NanoL..15.3439Y. Дои:10.1021 / acs.nanolett.5b00771. PMID  25844813. S2CID  11999899.
5. Cognée, K.C. (2019-03-20). «Отображение сложных модовых объемов с помощью теории возмущений резонатора». Optica. 6 (3): 269–273. arXiv:1811.11726. Bibcode:2019 Оптический ... 6..269C. Дои:10.1364 / OPTICA.6.000269. S2CID  119439374.
6. Дэвид Позар, Microwave Engineering, 2-е издание, Wiley, New York, NY, 1998.
7. Мэтью, К. Т. 2005. Теория возмущений. Энциклопедия радио- и микроволновой техники
8. Vyas, A.D .; Rana, V.A .; Gadani, D.H .; Праджапати, А. (2008). Метод возмущений резонатора для измерения комплексной диэлектрической проницаемости диэлектрических материалов на СВЧ-частоте в X-диапазоне. Международная конференция по последним достижениям в теории и приложениях микроволнового излучения. IEEE. С. 836–838. Дои:10.1109 / amta.2008.4763128. ISBN  978-1-4244-2690-4.
9. Венцюань Че; Чжаньсянь Ван; Юмей Чанг; Russer, P .; «Измерение диэлектрической проницаемости биологических материалов с помощью усовершенствованного метода возмущений микроволнового резонатора», микроволновая конференция, 2008 г. EuMC 2008. 38-я Европейская конференция, том, №, стр. 905–908, 27–31 октября 2008 г.
10. Цин Ван; Сяогуан Дэн; Мин Ян; Юнь Фань; Вейлиан Ван; «Измерение концентрации глюкозы с помощью микроволнового резонатора и технологии DSP», Биомедицинская инженерия и информатика (BMEI), 3-я Международная конференция 2010 г., том 3, №, стр. 943–946, 16–18 октября 2010 г.
11. А. Склюев; М. Чуряну; К. Акьел; П. Чуряну; Д. Менар; А. Елон; «Измерение комплексной проницаемости ферромагнитных нанопроволок с использованием методов возмущения резонатора», «Электротехника и компьютерная техника», 2006. CCECE '06. Канадская конференция, том, №, стр. 1486–1489, май 2006 г.
12. Wang, Z.H .; Джавади, H.H.S .; Эпштейн, A.J .; «Применение методов возмущения микроволнового резонатора в проводящих полимерах», Конференция по контрольно-измерительной технике, 1991. IMTC-91. Conference Record., 8th IEEE, vol., No., Pp.79–82, 14–16 мая 1991 г.
13. Ogunlade, O .; Ифань Чен; Kosmas, P .; «Измерение комплексной диэлектрической проницаемости микропузырьков с использованием метода возмущения полости для сверхширокополосного обнаружения рака молочной железы с контрастным усилением», Engineering in Medicine and Biology Society (EMBC), Ежегодная международная конференция IEEE 2010 г., том, №, стр. 6733–6736, 31 августа 2010 г. - сен. 4 2010