CUSUM - CUSUM

О римском городе Кусум см. Петроварадин.

График CUSUM
Первоначально предложено	Э. С. Пейдж
Наблюдения за процессом
Рациональный размер подгруппы	п = 1
Тип измерения	Накопительная сумма качественной характеристики
Тип характеристики качества	Данные переменных
Базовое распространение	Нормальное распределение
Спектакль
Размер сдвига для обнаружения	≤ 1,5σ
Таблица вариантов процесса
Непригодный
График средних значений процесса
Центральная линия	Целевое значение T характеристики качества
Верхний контрольный предел	${displaystyle C_{i}^{+}=max lbrack 0,x_{i}-left(T+Kight)+C_{i-1}^{+}brack }$
Нижний предел контроля	${displaystyle C_{i}^{-}=max lbrack 0,left(T-Kight)-x_{i}+C_{i-1}^{-}brack }$
Построенная статистика	${displaystyle C_{i}=sum _{j=1}^{i}{ar {x}}_{j}-T}$

В статистический контроль качества, то CUSUM (или же совокупная сумма контрольная диаграмма) это последовательный анализ методика, разработанная Э. С. Пейджем Кембриджский университет. Обычно используется для мониторинга обнаружение изменений.^[1]CUSUM был объявлен в Биометрика, в 1954 г., через несколько лет после публикации Вальд с SPRT алгоритм.^[2]

Пейдж ссылается на «качественное число» ${displaystyle heta }$, под которым он имел в виду параметр распределение вероятностей; например, иметь в виду. Он разработал CUSUM как метод определения изменений в нем и предложил критерий для принятия решения о том, когда предпринять корректирующие действия. Когда метод CUSUM применяется к изменениям среднего, его можно использовать для обнаружение шагов из Временные ряды.

Несколькими годами позже, Джордж Альфред Барнард разработал метод визуализации, диаграмму V-маски, для обнаружения как увеличения, так и уменьшения ${displaystyle heta }$.^[3]

Метод

Как следует из названия, CUSUM включает в себя расчет у.е.многовариантный сумма (что делает его «последовательным»). Образцы из процесса ${displaystyle x_{n}}$ присвоены веса ${displaystyle omega _{n}}$, и суммируется следующим образом:

${displaystyle S_{0}=0}$

${displaystyle S_{n+1}=max(0,S_{n}+x_{n}-omega _{n})}$

Когда значение S превышает определенное пороговое значение, обнаружено изменение значения. Приведенная выше формула обнаруживает изменения только в положительном направлении. Когда также необходимо найти отрицательные изменения, следует использовать операцию min вместо операции max, и на этот раз изменение было обнаружено, когда значение S является ниже (отрицательное) значение порогового значения.

Пейдж прямо не сказал, что ${displaystyle omega }$ представляет функция правдоподобия, но это обычное использование. Обратите внимание, что это не эквивалентно "cumsum" в Matlab.

Обратите внимание, что это отличается от SPRT тем, что всегда использует нулевую функцию в качестве нижнего «удерживающего барьера», а не нижнего «удерживающего барьера».^[1] Кроме того, CUSUM не требует использования функции правдоподобия.

В качестве средства оценки эффективности CUSUM Пейдж определил средняя длина тиража (A.R.L.) метрика; «ожидаемое количество статей, отобранных до принятия мер». Далее он писал:^[2]

Когда качество продукции удовлетворительное, A.R.L. является мерой затрат, понесенных схемой, когда она дает ложные срабатывания, т. е. Ошибки типа I (Нейман и Пирсон, 1936^[4]). С другой стороны, из-за постоянного низкого качества A.R.L. измеряет задержку и, следовательно, количество лома, образовавшегося до того, как будут предприняты действия по исправлению, т.е. Ошибки типа II.

Пример

В следующем примере показано 20 наблюдений. ${displaystyle X}$ процесса со средним значением 0 и стандартным отклонением 0,5.

От ${displaystyle Z}$ столбец, видно, что ${displaystyle X}$ никогда не отклоняется на 3 стандартных отклонения (${displaystyle 3sigma }$), поэтому простое предупреждение о большом отклонении не обнаружит сбоя, тогда как CUSUM показывает, что ${displaystyle S_{H}}$ значение превышает 4 на 17^th наблюдение.

Столбец	Описание
${displaystyle X}$	Наблюдения за процессом с ожидаемым средним ${displaystyle {ar {x}}}$ 0 и ожидаемое стандартное отклонение ${displaystyle sigma _{X}}$ 0,5
${displaystyle Z}$	Нормализованные наблюдения, т.е. сосредоточено вокруг среднего и масштабировано на стандартное отклонение ${displaystyle Z_{n}={frac {X_{n}-{ar {x}}}{sigma _{X}}}}$
${displaystyle S_{H}}$	В высоко CUSUM значение, обнаруживающее положительную аномалию, ${displaystyle {S_{H}}_{n+1}=max(0,{S_{H}}_{n}+Z_{n}-omega )}$
${displaystyle S_{L}}$	В низкий CUSUM значение, обнаруживающее отрицательную аномалию, ${displaystyle {S_{L}}_{n+1}=max(0,{S_{L}}_{n}-Z_{n}-omega )}$

Варианты

Совокупные графики "наблюдаемое минус ожидаемое"^[1] являются связанным методом.

Рекомендации

1. Григг; Прощай, ВТ; Шпигельхальтер, диджей; и другие. (2003). «Использование диаграмм CUSUM и RSPRT с поправкой на риск для мониторинга в медицинских контекстах». Статистические методы в медицинских исследованиях. 12 (2): 147–170. Дои:10.1177/096228020301200205. PMID  12665208.
2. Пейдж, Э. С. (июнь 1954 г.). «Схема непрерывного контроля». Биометрика. 41 (1/2): 100–115. Дои:10.1093 / biomet / 41.1-2.100. HDL:10338.dmlcz / 135207. JSTOR  2333009.
3. Барнард, Г.А. (1959). «Графики управления и случайные процессы». Журнал Королевского статистического общества. B (Методологический) (21, номер 2): 239–71. JSTOR  2983801.
4. «Достаточная статистика и наиболее мощные тесты статистических гипотез». Мемуары статистических исследований. я: 113–137.

дальнейшее чтение

• Мишель Бассевиль и Игорь В. Никифоров (апрель 1993 г.). Обнаружение резких изменений: теория и применение. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  0-13-126780-9.
• Мишра, С., Ванли, О. А., и Парк, К. (2015). «Метод многомерной совокупной суммы для непрерывного мониторинга повреждений с помощью датчиков волны Лэмба», Международный журнал прогнозирования и управления здоровьем, ISSN  2153-2648

внешняя ссылка

• «Справочник по инженерной статистике - карты таможенного контроля»