Функция Buchstab - Buchstab function

График функции Бухштаба ω(ты) из ты = От 1 до ты = 4.

В Функция Buchstab (или же Функция Бухштаба) - единственная непрерывная функция ${\displaystyle \omega :\mathbb {R} _{\geq 1}\rightarrow \mathbb {R} _{>0}}$ определяется дифференциальное уравнение с запаздыванием

${\displaystyle \omega (u)={\frac {1}{u}},\qquad \qquad \qquad 1\leq u\leq 2,}$

${\displaystyle {\frac {d}{du}}(u\omega (u))=\omega (u-1),\qquad u\geq 2.}$

Во втором уравнении производная при ты = 2 следует принимать как ты подходит 2 справа. Он назван в честь Александр Бухстаб, писавший об этом в 1937 году.

Асимптотика

Подходы функции Buchstab ${\displaystyle e^{-\gamma }}$ быстро как ${\displaystyle u\to \infty ,}$ куда ${\displaystyle \gamma }$ это Константа Эйлера – Маскерони. Фактически,

${\displaystyle |\omega (u)-e^{-\gamma }|\leq {\frac {\rho (u-1)}{u}},\qquad u\geq 1,}$

куда ρ это Функция Дикмана.^[1] Также, ${\displaystyle \omega (u)-e^{-\gamma }}$ колеблется регулярно, чередуя экстремумы и нули; экстремумы чередуются между положительными максимумами и отрицательными минимумами. Интервал между последовательными экстремумами приближается к 1 как ты стремится к бесконечности, как и интервал между последовательными нулями.^[2]

Приложения

Функция Buchstab используется для подсчета приблизительные цифры.Если Φ (Икс, у) - количество положительных целых чисел, меньших или равных Икс без основного множителя меньше чем у, то для любого фиксированного ты > 1,

${\displaystyle \Phi (x,x^{1/u})\sim \omega (u){\frac {x}{\log x^{1/u}}},\qquad x\to \infty .}$

Примечания

1. (5.13), Jurkat and Richert 1965. В этой статье аргумент ρ сдвинуто на 1 по сравнению с обычным определением.
2. п. 131, Cheer and Goldston 1990.

Рекомендации

• Бухштаб, А. А. (1937), «Асимптотическая оценка одной общей теоретикочисловой функции» [Асимптотическая оценка общей теоретико-числовой функции], Математический сборник 2 (44) (6): 1239–1246, Zbl  0018.24504
• «Функция Бухштаба», Вольфрам MathWorld. Доступ на сайте 11 февраля 2015 г.
• §IV.32, «О функции Φ (x, y) и Бухштаба», Справочник по теории чисел I, Йожеф Шандор, Драгослав С. Митринович и Борислав Крстичи, Springer, 2006, ISBN  978-1-4020-4215-7.
• «Дифференциальное уравнение запаздывания, возникающее из сита Эратосфена», А. Я. Чир и Д. А. Голдстон, Математика вычислений 55 (1990), стр. 129–141.
• «Усовершенствование метода сита Сельберга», В. Б. Юркат и Х.-Э. Ричерт, Acta Arithmetica 11 (1965), стр. 217–240.
• Хильдебранд, А. (2001) [1994], «Бухстабская функция», Энциклопедия математики, EMS Press