Уравнение Брейта - Breit equation

В Уравнение Брейта это релятивистский волновое уравнение полученный Грегори Брейт в 1929 г. на основе Уравнение Дирака, который формально описывает два и более массивных вращение -1/2 частицы (электроны, например) электромагнитно взаимодействуют до первого порядка по теория возмущений. Он учитывает магнитные взаимодействия и эффекты запаздывания порядка 1 / с². Когда другими квантово-электродинамическими эффектами можно пренебречь, было показано, что это уравнение дает результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом. Первоначально он был получен из Лагранжиан Дарвина но позже подтверждено Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана и в конце концов квантовая электродинамика.

Вступление

Уравнение Брейта - это не только приближение с точки зрения квантовая механика, но и с точки зрения теория относительности так как он не полностью инвариантен относительно Преобразование Лоренца. Так же, как и Уравнение Дирака, он рассматривает ядра как точечные источники внешнего поля для описываемых частиц. За N частиц уравнение Брейта имеет вид (р_ij это расстояние между частицами я и j):

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(\sum _{i}{\hat {H}}_{D}(i)+\sum _{i>j}{\frac {1}{r_{ij}}}+\sum _{i>j}{\hat {B}}_{ij}\right)\Psi }$

куда

${\displaystyle {\hat {H}}_{D}(i)=\left[q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})+c\sum _{s=x,y,z}\alpha _{s}(i)\pi _{s}(I)+\alpha _{0}(I)m_{0}c^{2}\right]}$

- гамильтониан Дирака (см. Уравнение Дирака ) для частицы я на позиции р_я и φ(р_я) - скалярный потенциал в этой позиции; q_я - заряд частицы, поэтому для электронов q_я = −еОдноэлектронные гамильтонианы Дирака частиц вместе с их мгновенными кулоновскими взаимодействиями 1 /р_ij, сформировать Дирак-Кулон оператор. К этому Брейт добавил оператор (теперь известный как (частотно-независимый) Оператор Breit):

${\displaystyle {\hat {B}}_{ij}=-{\frac {1}{2r_{ij}}}\left[\mathbf {a} (i)\cdot \mathbf {a} (j)+{\frac {\left(\mathbf {a} (i)\cdot \mathbf {r} _{ij}\right)\left(\mathbf {a} (j)\cdot \mathbf {r} _{ij}\right)}{r_{ij}^{2}}}\right]}$,

где матрицы Дирака для электрона я: а(я) = [α_Икс(я), α_у(я), α_z(я)]. Два члена в операторе Брейта учитывают эффекты запаздывания до первого порядка. Ψ в уравнении Брейта является спинор с 4^N элементов, поскольку каждый электрон описывается дираковским биспинор с 4 элементами, как в Уравнение Дирака, а полная волновая функция является их тензорным произведением.

Гамильтонианы Брейта

Полный гамильтониан уравнения Брейта, иногда называемый Гамильтониан Дирака-Кулона-Брейта (ЧАС_DCB) можно разложить на следующие практические операторы энергии для электронов в электрическом и магнитном полях (также называемые Гамильтониан Брейта-Паули) ^[1], которые имеют четко определенный смысл во взаимодействии молекул с магнитными полями (например, для ядерный магнитный резонанс ):

${\displaystyle {\hat {B}}_{ij}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{1}+...+{\hat {H}}_{6}}$,

в котором следующие друг за другом частичные операторы:

• ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}=\sum _{i}{\frac {{\hat {p}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+V}$ - нерелятивистский гамильтониан (${\displaystyle m_{i}}$ стационарная масса частицы я).
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{1}=-{\frac {1}{8c^{2}}}\sum _{i}{\frac {{\hat {p}}_{i}^{4}}{m_{i}^{3}}}}$ связана с зависимостью массы от скорости: ${\displaystyle E_{kin}^{2}-\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}=m^{2}v^{2}c^{2}}$.
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{2}=-\sum _{i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{2r_{ij}m_{i}m_{j}c^{2}}}\left[\mathbf {\hat {p}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{j}+{\frac {(\mathbf {r_{ij}} \cdot \mathbf {\hat {p}} _{i})(\mathbf {r_{ij}} \cdot \mathbf {\hat {p}} _{j})}{r_{ij}^{2}}}\right]}$ представляет собой поправку, которая частично учитывает запаздывание и может быть описана как взаимодействие между магнитными дипольными моментами частиц, которые возникают в результате орбитального движения зарядов (также называемого орбита-орбита взаимодействие).
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{3}={\frac {\mu _{B}}{c}}\sum _{i}{\frac {1}{m_{i}}}\mathbf {s} _{i}\cdot \left[\mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})\times \mathbf {\hat {p}} _{i}+\sum _{j>i}{\frac {2q_{i}}{r_{ij}^{3}}}\mathbf {r} _{ij}\times \mathbf {\hat {p}} _{j}\right]}$ представляет собой классическое взаимодействие между орбитальными магнитными моментами (от орбитального движения заряда) и спиновыми магнитными моментами (также называемыми спин-орбитальное взаимодействие ). Первый член описывает взаимодействие спина частицы с ее собственным орбитальным моментом (F(р_я) - электрическое поле в положении частицы) и второй член между двумя разными частицами.
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{4}={\frac {ih}{8\pi c^{2}}}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{m_{i}^{2}}}\mathbf {\hat {p}} _{i}\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})}$ неклассический термин, характерный для теории Дирака, иногда называемый Дарвин срок.
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{5}=4\mu _{B}^{2}\sum _{i>j}\left\lbrace -{\frac {8\pi }{3}}(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j})\delta (\mathbf {r} _{ij})+{\frac {1}{r_{ij}^{3}}}\left[\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-{\frac {3(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {r} _{ij})(\mathbf {s} _{j}\cdot \mathbf {r} _{ij})}{r_{ij}^{2}}}\right]\right\rbrace }$ это магнитный момент спин-спин взаимодействие. Первый член называется контактное взаимодействие, поскольку он отличен от нуля только тогда, когда частицы находятся в одном положении; второй член - взаимодействие классического диполь-дипольного типа.
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{6}=2\mu _{B}\sum _{i}\left[\mathbf {H} (\mathbf {r} _{i})\cdot \mathbf {s} _{i}+{\frac {q_{i}}{m_{i}c}}\mathbf {A} (\mathbf {r} _{i})\cdot \mathbf {\hat {p}} _{i}\right]}$ - взаимодействие спинового и орбитального магнитных моментов с внешним магнитным полем ЧАС.

куда:${\displaystyle V=\sum _{i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}}$ и${\displaystyle \mu _{B}={\frac {e\hbar }{2mc}}}$

Смотрите также

• Уравнение Бете – Солпитера
• Лагранжиан Дарвина
• Двухчастичные уравнения Дирака
• Позитроний
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Рекомендации

• ^1 Х.А. Бете, Э.Э. Солпитер (1977). Квантовая механика одно- и двухэлектронных атомов.. Нью-Йорк: Пленум Пресс. п. 181.
• Г. Брейт (1932). «Уравнение Дирака и спин-спиновые взаимодействия двух электронов». Phys. Rev. 39 (4): 616–624. Bibcode:1932ПхРв ... 39..616Б. Дои:10.1103 / PhysRev.39.616.
• J.L. Friar, J.W. Негеле (1973). «Уравнение Брейта для анализа поправок к уровням энергии мюонного атома». Письма по физике B. 46 (1): 5–7. Bibcode:1973ФЛБ ... 46 .... 5Ф. Дои:10.1016/0370-2693(73)90459-0.
• Дж. Мурад, Х. Сазджян (1995). «Как получить ковариантное уравнение типа Брейта из релятивистской теории ограничений». Журнал физики G: Ядерная физика и физика элементарных частиц. 46 (3): 267–279. arXiv:hep-ph / 9412261. Bibcode:1995JPhG ... 21..267M. Дои:10.1088/0954-3899/21/3/004.

внешняя ссылка

• [2] - Тензорная форма уравнения Брейта, Институт теоретической физики Варшавского университета.
• [3] - Непертурбативное решение уравнения Брейта для парапозитрония, Институт теоретической физики Варшавского университета.