Модель Брея – Мосса – Либби - Bray–Moss–Libby model

Эта статья о модели турбулентности при горении. Для модели транспортного потока см. Модель дорожного движения Бихама – Миддлтона – Левина.

При турбулентном горении с предварительным смешиванием Модель Брея – Мосса – Либби (BML) представляет собой модель замыкания для скалярного поля, построенную на предположении, что реакционный слой бесконечно тонок по сравнению с турбулентными масштабами, так что скаляр может быть найден либо в состоянии сгоревшего газа, либо в состоянии несгоревшего газа. Модель названа в честь Кеннет Брэй, Дж. Б. Мосс и Пол А. Либби.^[1][2]

Математическое описание^[3][4]

Определим безразмерную скалярную переменную или переменную прогресса ${\displaystyle c}$ такой, что ${\displaystyle c=0}$ на несгоревшую смесь и ${\displaystyle c=1}$ на стороне сгоревшего газа. Например, если ${\displaystyle T_{u}}$ - температура несгоревшего газа и ${\displaystyle T_{b}}$ - температура сгоревшего газа, то безразмерную температуру можно определить как

${\displaystyle c={\frac {T-T_{u}}{T_{b}-T_{u}}}.}$

Переменная прогресса может быть любой скалярной, т.е. мы могли бы выбрать концентрацию реагента в качестве переменной прогресса. Поскольку реакционная пленка бесконечно тонкая, в любой точке поля течения можно найти значение ${\displaystyle c}$ быть либо единицей, либо нулем. Переход от нуля к единице происходит мгновенно на листе реакции. Следовательно, функция плотности вероятности (без учета временной переменной ${\displaystyle t}$) для переменной прогресса задается

${\displaystyle P(c,\mathbf {x} )=\alpha (\mathbf {x} )\delta (c)+\beta (\mathbf {x} )\delta (1-c)}$

куда ${\displaystyle \alpha (\mathbf {x} )}$ и ${\displaystyle \beta (\mathbf {x} )}$ - вероятность нахождения несгоревшей и сгоревшей смеси соответственно и ${\displaystyle \delta }$ это Дельта-функция Дирака. По определению условие нормировки приводит к

${\displaystyle \alpha (\mathbf {x} )+\beta (\mathbf {x} )=1.}$

Видно, что средняя переменная прогресса,

${\displaystyle {\bar {c}}=\int _{0}^{1}cP(c,\mathbf {x} )\,dc=\beta (\mathbf {x} )}$

не что иное, как вероятность найти сгоревший газ на месте ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Функция плотности полностью описывается переменной среднего прогресса.

Предполагая постоянное давление и постоянную молекулярную массу, можно показать, что закон идеального газа сводится к

${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho _{u}}}={\frac {T_{u}}{T}}={\frac {1}{1+\tau c}}}$

куда ${\displaystyle \tau }$ это параметр тепловыделения. Используя указанное выше соотношение, среднюю плотность можно рассчитать следующим образом

${\displaystyle {\frac {{\bar {\rho }}(\mathbf {x} )}{\rho _{u}}}=1-\beta (\mathbf {x} )+{\frac {\beta (\mathbf {x} )}{1+\tau }}.}$

В Усреднение по Фавру переменной прогресса задается

${\displaystyle {\tilde {c}}\equiv {\frac {\overline {\rho c}}{\bar {\rho }}}={\frac {\rho _{u}}{{\bar {\rho }}(\mathbf {x} )}}{\frac {\beta (\mathbf {x} )}{1+\tau }}.}$

Комбинируя два выражения, находим

${\displaystyle {\bar {c}}(\mathbf {x} )=\beta (\mathbf {x} )={\frac {(1+\tau ){\tilde {c}}(\mathbf {x} )}{1+\tau {\tilde {c}}(\mathbf {x} )}}}$

и поэтому

${\displaystyle \alpha (\mathbf {x} )={\frac {1-{\tilde {c}}(\mathbf {x} )}{1+\tau {\tilde {c}}(\mathbf {x} )}}.}$

Средняя плотность

${\displaystyle {\bar {\rho }}(\mathbf {x} )={\frac {\rho _{u}}{1+\tau {\tilde {c}}(\mathbf {x} )}}.}$

Общая функция плотности

Если реакционный лист не считается тонким, то есть шанс, что можно будет найти значение для ${\displaystyle c}$ между нулем и единицей, хотя на самом деле реакционная пленка в основном тонкая по сравнению с турбулентными масштабами. Тем не менее в общем виде функцию плотности можно записать как

${\displaystyle P(c,\mathbf {x} )=\alpha (\mathbf {x} )\delta (c)+\beta (\mathbf {x} )\delta (1-c)+\gamma (\mathbf {x} )f(c,\mathbf {x} )}$

куда ${\displaystyle \gamma (\mathbf {x} )}$ - вероятность найти переменную прогресса, которая подвергается реакции (где происходит переход от нуля к единице). Здесь у нас есть

${\displaystyle \alpha (\mathbf {x} )+\beta (\mathbf {x} )+\gamma (\mathbf {x} )=1}$

куда ${\displaystyle \gamma }$ в большинстве регионов незначительно.

Рекомендации

1. Брей К. Н., Либби П. А. и Мосс Дж. Б. (1985). Единый подход к моделированию турбулентного горения с предварительным смешиванием - Часть I: Общая формулировка. Горение и пламя, 61 (1), 87–102.
2. Либби, П. А. (1985). Возвращение к теории турбулентного пламени с нормальной смесью. Прогресс в области энергетики и горения, 11 (1), 83–96.
3. Петерс, Н. (2000). Турбулентное горение. Пресса Кембриджского университета.
4. Петерс, Н. (1992). Пятнадцать лекций по ламинарному и турбулентному горению. Летняя школа Эркофтак, 1428 год.