Три основные теоремы Брауэра - Brauers three main theorems

Основные теоремы Брауэра три теоремы из теория представлений конечных групп связь блоки из конечная группа (в характеристике п) со своими п-локальные подгруппы, то есть нормализаторы своей нетривиальной п-подгруппы.

Вторая и третья основные теоремы позволяют уточнить соотношения ортогональности для обычные персонажи который может применяться в конечном теория групп. В настоящее время они не допускают доказательства исключительно в терминах обычных персонажей. Все три основные теоремы сформулированы в терминах Переписка Брауэра.

Переписка Брауэра

Есть много способов расширить нижеследующее определение, но это близко к ранним методам лечения Брауэра. Позволять грамм конечная группа, п быть первым, F быть поле характерных п.Позволять ЧАС быть подгруппой грамм который содержит

${\displaystyle QC_{G}(Q)}$

для некоторых п-подгруппа Qиз ГРАММ, и содержится в нормализатор

${\displaystyle N_{G}(Q)}$,

куда ${\displaystyle C_{G}(Q)}$ это централизатор из Q в грамм.

В Гомоморфизм Брауэра (относительно ЧАС) - линейное отображение центра групповой алгебры грамм над F в соответствующую алгебру для ЧАС. В частности, это ограничение на ${\displaystyle Z(FG)}$ (линейной) проекции из ${\displaystyle FG}$ к ${\displaystyle FC_{G}(Q)}$ ядро которого натянуто на элементы грамм за пределами ${\displaystyle C_{G}(Q)}$. Изображение этой карты содержится в ${\displaystyle Z(FH)}$, и оказывается, что отображение также является гомоморфизмом колец.

Поскольку это кольцевой гомоморфизм, для любого блока B из FG, гомоморфизм Брауэра передает единичный элемент B либо к 0 или идемпотентному элементу. В последнем случае идемпотент может быть разложен на сумму (взаимно ортогональных) примитивные идемпотенты из Z (FH). Каждый из этих примитивных идемпотентов является мультипликативным тождеством некоторого блока FH. Блок б из FH считается Корреспондент Брауэра из B если его элемент идентичности встречается в этом разложении образа идентичности B при гомоморфизме Брауэра.

Первая основная теорема Брауэра

Первая основная теорема Брауэра (Brauer1944, 1956, 1970 ) утверждает, что если ${\displaystyle G}$ конечная группа и ${\displaystyle D}$ это ${\displaystyle p}$-подгруппа ${\displaystyle G}$, то есть биекция между набором (характеристика п) блоки ${\displaystyle G}$ с группой дефектов ${\displaystyle D}$ и блоки нормализатора ${\displaystyle N_{G}(D)}$ с группой дефектов D. Это взаимное соответствие возникает потому, что когда ${\displaystyle H=N_{G}(D)}$, каждый блок граммс группой дефектов D имеет уникальный корреспондентский блок Брауэра ЧАС, который также имеет группу дефектов D.

Вторая основная теорема Брауэра

Вторая основная теорема Брауэра (Brauer1944, 1959 ) дает для элемента т чей порядок является степенью простого п, критерий для (характеристики п) блок ${\displaystyle C_{G}(t)}$ соответствовать данному блоку ${\displaystyle G}$, через обобщенные числа разложения. Это коэффициенты, которые возникают, когда ограничения обычных персонажей ${\displaystyle G}$ (из данного блока) к элементам вида ту, куда ты пробегает элементы порядка, простого с п в ${\displaystyle C_{G}(t)}$, записываются как линейные комбинации неприводимых Персонажи Брауэра из ${\displaystyle C_{G}(t)}$. Суть теоремы состоит в том, что необходимо использовать символы Брауэра только из блоков ${\displaystyle C_{G}(t)}$ которые являются корреспондентами Брауэра выбранного блока грамм.

Третья основная теорема Брауэра

Третья основная теорема Брауэра (Брауэр 1964, теорема 3) утверждает, что когда Q это п-подгруппа конечной группы грамм,и ЧАС является подгруппой ГРАММ, содержащий ${\displaystyle QC_{G}(Q)}$, и содержится в ${\displaystyle N_{G}(Q)}$, то основной блок из ЧАС является единственным корреспондентом Брауэра основного блока грамм (где указанные блоки рассчитываются в характеристике п).

Рекомендации

• Брауэр, Р. (1944), «Об арифметике в групповом кольце», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 30: 109–114, Дои:10.1073 / pnas.30.5.109, ISSN  0027-8424, JSTOR  87919, МИСТЕР  0010547, ЧВК  1078679, PMID  16578120
• Брауэр, Р. (1946), «О блоках характеров групп конечного порядка I», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 32: 182–186, Дои:10.1073 / pnas.32.6.182, ISSN  0027-8424, JSTOR  87578, МИСТЕР  0016418, ЧВК  1078910, PMID  16578199
• Брауэр, Р. (1946), «О блоках характеров групп конечного порядка. II», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 32: 215–219, Дои:10.1073 / pnas.32.8.215, ISSN  0027-8424, JSTOR  87838, МИСТЕР  0017280, ЧВК  1078924, PMID  16578207
• Брауэр, Р. (1956), "Zur Darstellungstheorie der Gruppen endlicher Ordnung", Mathematische Zeitschrift, 63: 406–444, Дои:10.1007 / BF01187950, ISSN  0025-5874, МИСТЕР  0075953
• Брауэр, Р. (1959), "Zur Darstellungstheorie der Gruppen endlicher Ordnung. II", Mathematische Zeitschrift, 72: 25–46, Дои:10.1007 / BF01162934, ISSN  0025-5874, МИСТЕР  0108542
• Брауэр, Р. (1964), «Некоторые приложения теории блоков характеров конечных групп. I», Журнал алгебры, 1: 152–167, Дои:10.1016/0021-8693(64)90031-6, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  0168662
• Брауэр, Р. (1970), «О первой основной теореме о блоках характеров конечных групп»., Иллинойсский журнал математики, 14: 183–187, ISSN  0019-2082, МИСТЕР  0267010
• Дейд, Эверетт С. (1971), "Теория характеров, относящаяся к конечным простым группам", Пауэлл, М. Б .; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 249–327, ISBN  978-0-12-563850-0, МИСТЕР  0360785 дает подробное доказательство основных теорем Брауэра.
• Эллерс, Х. (2001) [1994], «Первая основная теорема Брауэра», Энциклопедия математики, EMS Press
• Эллерс, Х. (2001) [1994], "Гипотеза Брауэра о нулевой высоте", Энциклопедия математики, EMS Press
• Эллерс, Х. (2001) [1994], «Вторая основная теорема Брауэра», Энциклопедия математики, EMS Press
• Эллерс, Х. (2001) [1994], «Третья основная теорема Брауэра», Энциклопедия математики, EMS Press
• Вальтер Фейт, Теория представлений конечных групп. Математическая библиотека Северной Голландии, 25. North-Holland Publishing Co., Амстердам-Нью-Йорк, 1982. xiv + 502 с.ISBN  0-444-86155-6