Уравнение Бозанке - Bosanquet equation

В теории капиллярности Уравнение Бозанке это улучшенная модификация более простого Теория Лукаса-Вашберна для движения жидкости в тонком капилляр трубка или пористый материал это можно представить как большой набор капилляров. В модели Лукаса – Уошберна инерция жидкости игнорируется, что приводит к предположению, что поток является непрерывным при постоянной вязкости ламинарные условия течения Пуазейля без учета эффектов ускорения массопереноса, возникающих в начале потока и в точках изменения внутренней геометрии капилляров. Уравнение Бозанке - это дифференциальное уравнение второго порядка по производной по времени, подобное уравнению Второй закон Ньютона, и поэтому учитывает инерцию жидкости. Уравнения движения, такие как уравнение Уошберна, которые пытаются объяснить скорость (вместо ускорения) как пропорциональную движущей силе, часто описываются термином Аристотелевская механика.^[1]

Определение

При использовании обозначений ${\displaystyle \eta }$ для динамической вязкости, ${\displaystyle \theta }$ для краевого угла смачивания жидкость-твердое тело, ${\displaystyle \gamma }$ за поверхностное натяжение , ${\displaystyle \rho }$ для плотности жидкости, т на время, и р для радиуса поперечного сечения капилляра и Икс для расстояния, на которое продвинулась жидкость, уравнение движения Бозанке имеет вид^[2]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\pi r^{2}\rho x{\frac {dx}{dt}}\right)+8\pi \eta x{\frac {dx}{dt}}=2\pi r\gamma \cos \theta ,}$

предполагая, что движение полностью осуществляется за счет поверхностного натяжения без приложения давления на обоих концах капиллярной трубки.

Решение

Решение уравнения Бозанке можно разделить на две шкалы времени, во-первых, чтобы учесть начальное движение жидкости, рассматривая решение в пределе времени, приближающемся к 0, давая форму^[2]

${\displaystyle x^{2}(t)-x^{2}(0)={\frac {2b}{a}}\left[t-{\frac {1}{a}}(1-e^{-at})\right]}$

куда

${\displaystyle a={\frac {8\eta }{\rho r^{2}}}}$

и

${\displaystyle b={\frac {2\gamma \cos \theta }{\rho r}}.}$

Для условий короткого времени это показывает положение фронта мениска, пропорциональное времени, а не квадратному корню Лукаса-Вашберна из времени, а независимость вязкости демонстрирует поршневой поток.

По мере того как время увеличивается после начального времени ускорения, уравнение распадается до знакомой формы Лукаса-Вашберна в зависимости от вязкости и квадратного корня из времени.

Смотрите также

• Уравнение Хагена – Пуазейля
• Уравнение вашберна

Рекомендации

1. Артур Стиннер, "История силы: от Аристотеля до Эйнштейна", Phys. Educ. 29. (1994).
2. Иоахим Шёлкопф, Патрик А. К. Гейн, Кэти Дж. Риджуэй, OMYA AG, Офтринген, Швейцария, и Г. Питер Мэтьюз, «Влияние инерции на абсорбцию жидкости в структурах бумажного покрытия», Плимутский университет, Великобритания