Сумма Бляшке - Blaschke sum

В выпуклая геометрия и геометрия выпуклые многогранники, то Сумма Бляшке двух многогранников - это многогранник, имеющий грань параллельна каждой грани двух заданных многогранников с одинаковыми мера. Когда оба многогранника имеют параллельные грани, мерой соответствующей грани в сумме Бляшке является сумма мер из двух данных многогранников.^[1]

Суммы Бляшке существуют и уникальны до перевод, что подтверждается теорией Проблема Минковского для многогранников. Их можно использовать для разложения произвольных многогранников на симплексы, и центрально-симметричный многогранники в параллелоэдры.^[1]

Хотя суммы многогранников Бляшке неявно используются в работе Герман Минковски, Суммы Бляшке названы в честь математиков и нацистов. Вильгельм Блашке, определивший соответствующую операцию для гладких выпуклых множеств. Операция суммы Бляшке может быть расширена на произвольные выпуклые тела, обобщая как многогранник, так и гладкие случаи, используя меры на Карта Гаусса.^[2]

Определение

Для любого ${\displaystyle d}$-мерный многогранник, можно указать его набор направлений и мер фасет конечным набором ${\displaystyle d}$-мерный ненулевой векторов по одному на каждую грань, направленную перпендикулярно наружу от грани, с длиной, равной ${\displaystyle (d-1)}$-мерная мера его грани. В качестве Герман Минковски Доказано, что конечный набор ненулевых векторов описывает многогранник таким образом тогда и только тогда, когда он охватывает все ${\displaystyle d}$-мерное пространство, никакие два не коллинеарны с одним и тем же знаком, а сумма множества является нулевым вектором. Многогранник, описываемый этим набором, имеет уникальную форму в том смысле, что любые два многогранника, описываемые одним и тем же набором векторов, являются переводит друг друга.^[1]

Сумма Бляшке ${\displaystyle X\#Y}$ двух многогранников ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ определяется путем комбинирования векторов, описывающих направления их граней и меры, очевидным образом: формирует объединение двух наборов векторов, за исключением того, что когда оба набора содержат векторы, которые параллельны и имеют одинаковый знак, замените каждую такую ​​пару параллельных векторов по его сумме. Эта операция сохраняет необходимые условия теоремы Минковского о существовании многогранника, описываемого полученным набором векторов, и этот многогранник является суммой Бляшке. Два многогранника не обязательно должны иметь одинаковую размерность, если они оба определены в общем пространстве достаточно высокой размерности, чтобы содержать оба: многогранники более низкой размерности в пространстве более высокой размерности определяются таким же образом наборами векторов, которые охватывают подпространство более низкой размерности пространства более высокой размерности, и эти наборы векторов можно комбинировать независимо от размеров пространств, которые они охватывают.^[1]

Разложение

Суммы Бляшке можно использовать для разложения многогранников на более простые многогранники. В частности, каждый ${\displaystyle d}$-мерный выпуклый многогранник с ${\displaystyle n}$ фасеты могут быть представлены в виде суммы Бляшке не более ${\displaystyle n-d}$ симплексы (не обязательно того же размера). Каждый ${\displaystyle d}$-размерный центрально-симметричный выпуклый многогранник можно представить в виде суммы Бляшке параллелоэдры. И каждый ${\displaystyle d}$-мерный выпуклый многогранник можно представить в виде суммы Бляшке ${\displaystyle d}$-мерные выпуклые многогранники, каждый из которых имеет не более ${\displaystyle 2d}$ грани.^[1]

Обобщения

Сумму Бляшке можно расширить от многогранников до произвольных ограниченных выпуклых множеств, представив количество поверхностей в каждом направлении с помощью мера на Карта Гаусса набора вместо использования конечного набора векторов и добавления наборов путем добавления их мер.^[2][3]

Неравенство Кнезера – Зюсса

Громкость ${\displaystyle V(X\#Y)}$ суммы двух Бляшке ${\displaystyle d}$-мерные многогранники или выпуклые тела ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ подчиняется неравенству, известному как Неравенство Кнезера – Зюсса, аналог Теорема Брунна – Минковского. по объемам Суммы Минковского выпуклых тел:^[3]

${\displaystyle V(X\#Y)^{(d-1)/d}\geq V(X)^{(d-1)/d}+V(Y)^{(d-1)/d}.}$

Рекомендации

1. Грюнбаум, Бранко (2003), «15.3 Дополнение Бляшке», Выпуклые многогранники, Тексты для выпускников по математике, 221 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 331–337, Дои:10.1007/978-1-4613-0019-9, ISBN  0-387-00424-6, МИСТЕР  1976856
2. Грюнбаум (2003), п. 339
3. Шнайдер, Рольф (1993), «8.2.2 Добавление Бляшке», Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, Энциклопедия математики и ее приложений, 44, Cambridge University Press, Кембридж, стр. 459–461, Дои:10.1017 / CBO9780511526282, ISBN  0-521-35220-7, МИСТЕР  1216521