Отступление - Backstepping

В теория управления, бэкстеппинг - это техника, разработанная около 1990 г. Петр В. Кокотович и другие^[1][2] для проектирования стабилизирующий элементы управления для особого класса нелинейный динамические системы. Эти системы построены из подсистем, исходящих из несводимой подсистемы, которую можно стабилизировать каким-либо другим методом. Из-за этого рекурсивный структура, разработчик может начать процесс проектирования в заведомо стабильной системе и "откатить" новые контроллеры, которые постепенно стабилизируют каждую внешнюю подсистему. Процесс завершается, когда достигается окончательное внешнее управление. Следовательно, этот процесс известен как отступление.^[3]

Обратный подход

Обратный подход обеспечивает рекурсивный метод для стабилизирующий то источник системы в форма строгой обратной связи. То есть рассмотрим система формы^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}&=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}&=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}&=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})z_{i+1}\quad {\text{ for }}1\leq i<k-1\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-1}&=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})z_{k}\\{\dot {z}}_{k}&=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}\end{aligned}}}$

куда

• ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ с ${\displaystyle n\geq 1}$,
• ${\displaystyle z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i},\ldots ,z_{k-1},z_{k}}$ находятся скаляры,
• ты это скаляр вход в систему,
• ${\displaystyle f_{x},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{i},\ldots ,f_{k-1},f_{k}}$ исчезнуть на источник (т.е. ${\displaystyle f_{i}(0,0,\dots ,0)=0}$),
• ${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots ,g_{i},\ldots ,g_{k-1},g_{k}}$ отличны от нуля в интересующей области (т. е. ${\displaystyle g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},\ldots ,z_{k})\neq 0}$ за ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$).

Также предположим, что подсистема

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$

является стабилизированный к источник (т.е. ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$) некоторыми известен контроль ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$ такой, что ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$. Также предполагается, что Функция Ляпунова ${\displaystyle V_{x}}$ для этой стабильной подсистемы известно. То есть это Икс подсистема стабилизируется каким-либо другим методом, а обратный шаг увеличивает ее устойчивость до ${\displaystyle {\textbf {z}}}$ оболочка вокруг него.

В системах этого форма строгой обратной связи вокруг конюшни Икс подсистема,

• Управляющий вход, разработанный в обратном направлении ты оказывает самое непосредственное стабилизирующее воздействие на состояние ${\displaystyle z_{n}}$.
• Штат ${\displaystyle z_{n}}$ затем действует как стабилизирующий контроль над состоянием ${\displaystyle z_{n-1}}$ перед этим.
• Этот процесс продолжается так, что каждое состояние ${\displaystyle z_{i}}$ стабилизируется фиктивный "контроль" ${\displaystyle z_{i+1}}$.

В отступление подход определяет, как стабилизировать Икс подсистема, использующая ${\displaystyle z_{1}}$, а затем переходит к определению, как сделать следующее состояние ${\displaystyle z_{2}}$ водить машину ${\displaystyle z_{1}}$ к контролю, необходимому для стабилизации Икс. Следовательно, процесс «отступает» от Икс вне системы форм строгой обратной связи до окончательного контроля ты разработан.

Обзор конструкции рекурсивного управления

1. Принято, что меньшая (то есть младшая) подсистема

   ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$

   уже стабилизирован к началу некоторого контроля ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$ куда ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$. То есть выбор ${\displaystyle u_{x}}$ для стабилизации этой системы необходимо использовать какой-то другой метод. Также предполагается, что Функция Ляпунова ${\displaystyle V_{x}}$ для этой стабильной подсистемы известно. Backstepping позволяет расширить управляемую стабильность этой подсистемы на более крупную систему.

2. Контроль ${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$ спроектирован так, что система

   ${\displaystyle {\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$

   стабилизируется так, чтобы ${\displaystyle z_{1}}$ следует желаемому ${\displaystyle u_{x}}$ контроль. Дизайн управления основан на расширенной функции Ляпунова кандидата

   ${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}}$

   Контроль ${\displaystyle u_{1}}$ можно выбрать для привязки ${\displaystyle {\dot {V}}_{1}}$ от нуля.

3. Контроль ${\displaystyle u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})}$ спроектирована так, что система

   ${\displaystyle {\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})}$

   стабилизируется так, чтобы ${\displaystyle z_{2}}$ следует желаемому ${\displaystyle u_{1}}$ контроль. Дизайн управления основан на расширенной функции Ляпунова кандидата

   ${\displaystyle V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}))^{2}}$

   Контроль ${\displaystyle u_{2}}$ можно выбрать для привязки ${\displaystyle {\dot {V}}_{2}}$ от нуля.

4. Этот процесс продолжается до фактического ты известно, и
   • В настоящий контроль ты стабилизирует ${\displaystyle z_{k}}$ к фиктивный контроль ${\displaystyle u_{k-1}}$.
   • В фиктивный контроль ${\displaystyle u_{k-1}}$ стабилизирует ${\displaystyle z_{k-1}}$ к фиктивный контроль ${\displaystyle u_{k-2}}$.
   • В фиктивный контроль ${\displaystyle u_{k-2}}$ стабилизирует ${\displaystyle z_{k-2}}$ к фиктивный контроль ${\displaystyle u_{k-3}}$.
   • ...
   • В фиктивный контроль ${\displaystyle u_{2}}$ стабилизирует ${\displaystyle z_{2}}$ к фиктивный контроль ${\displaystyle u_{1}}$.
   • В фиктивный контроль ${\displaystyle u_{1}}$ стабилизирует ${\displaystyle z_{1}}$ к фиктивный контроль ${\displaystyle u_{x}}$.
   • В фиктивный контроль ${\displaystyle u_{x}}$ стабилизирует Икс к происхождению.

Этот процесс известен как отступление потому что он начинается с требований к некоторой внутренней подсистеме для стабильности и постепенно отступает вне системы, сохраняя стабильность на каждом этапе. Потому что

• ${\displaystyle f_{i}}$ исчезнуть в начале координат для ${\displaystyle 0\leq i\leq k}$,
• ${\displaystyle g_{i}}$ отличны от нуля для ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$,
• данный контроль ${\displaystyle u_{x}}$ имеет ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$,

то получившаяся система имеет равновесие в точке источник (т.е. где ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$, ${\displaystyle z_{1}=0}$, ${\displaystyle z_{2}=0}$, ..., ${\displaystyle z_{k-1}=0}$, и ${\displaystyle z_{k}=0}$) то есть глобально асимптотически устойчивый.

Интегратор Backstepping

Перед описанием процедуры отступления для общих форма строгой обратной связи динамические системы, удобно обсудить подход для меньшего класса систем форм строгой обратной связи. Эти системы подключают ряд интеграторов ко входу системы с известным законом управления, стабилизирующим обратную связь, и поэтому стабилизирующий подход известен как отступление интегратора. С небольшой модификацией подход обратного шага интегратора может быть расширен для обработки всех систем форм строгой обратной связи.

Равновесие с одним интегратором

Рассмотрим динамическая система

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

(1)

куда ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle z_{1}}$ является скаляром. Эта система является каскадное соединение из интегратор с Икс подсистема (т.е. вход ты входит в интегратор, а интеграл ${\displaystyle z_{1}}$ входит в Икс подсистема).

Мы предполагаем, что ${\displaystyle f_{x}(\mathbf {0} )=0}$, так что если ${\displaystyle u_{1}=0}$, ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$ и ${\displaystyle z_{1}=0}$, тогда

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} })+(g_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} }))(\underbrace {0} _{z_{1}})=0+(g_{x}(\mathbf {0} ))(0)=\mathbf {0} &\quad {\text{ (i.e., }}\mathbf {x} =\mathbf {0} {\text{ is stationary)}}\\{\dot {z}}_{1}=\overbrace {0} ^{u_{1}}&\quad {\text{ (i.e., }}z_{1}=0{\text{ is stationary)}}\end{cases}}}$

Итак источник ${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})=(\mathbf {0} ,0)}$ является равновесием (т.е. стационарный пункт ) системы. Если система когда-либо достигнет источника, она останется там навсегда.

Один интегратор Backstepping

В этом примере обратный шаг используется для стабилизировать система с одним интегратором в уравнении (1) вокруг своего равновесия в начале координат. Чтобы быть менее точным, мы хотим разработать закон управления ${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$ это гарантирует, что государства ${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$ Вернуться к ${\displaystyle (\mathbf {0} ,0)}$ после запуска системы из произвольного начального состояния.

• Во-первых, по предположению подсистема

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )\qquad {\text{where}}\qquad F(\mathbf {x} )\triangleq f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$

с ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$ имеет Функция Ляпунова ${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )>0}$ такой, что

${\displaystyle {\dot {V}}_{x}={\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))\leq -W(\mathbf {x} )}$

куда ${\displaystyle W(\mathbf {x} )}$ это положительно определенная функция. То есть мы предполагать что у нас есть уже показано что это существующие проще Икс подсистема является стабильный (по Ляпунову). Грубо говоря, это понятие стабильности означает, что:

• • Функция ${\displaystyle V_{x}}$ подобна «обобщенной энергии» Икс подсистема. Поскольку Икс состояния системы удаляются от начала координат, энергия ${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )}$ тоже растет.
  • Показывая, что со временем энергия ${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} (t))}$ спадает до нуля, затем Икс государства должны распасться к ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$. То есть происхождение ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$ будет стабильное равновесие системы - Икс состояния будут непрерывно приближаться к источнику с увеличением времени.
  • Говоря это ${\displaystyle W(\mathbf {x} )}$ положительно определенный означает, что ${\displaystyle W(\mathbf {x} )>0}$ везде кроме ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$, и ${\displaystyle W(\mathbf {0} )=0}$.
  • Заявление о том, что ${\displaystyle {\dot {V}}_{x}\leq -W(\mathbf {x} )}$ Значит это ${\displaystyle {\dot {V}}_{x}}$ отделена от нуля для всех точек, кроме тех, где ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$. То есть, пока система не находится в равновесии в начале координат, ее «энергия» будет уменьшаться.
  • Поскольку энергия всегда спадает, система должна быть стабильной; его траектории должны приближаться к началу координат.

Наша задача найти контроль ты что делает наш каскадный ${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$ система также стабильна. Итак, мы должны найти новый Функция Ляпунова кандидат для этой новой системы. Этот кандидат будет зависеть от контроля ты, и, правильно подобрав элемент управления, мы можем гарантировать, что он также везде распадается.

• Далее добавление и вычитание ${\displaystyle g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$ (т.е. мы никоим образом не меняем систему, потому что не делаем сеть эффект) к ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}$ часть большего ${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$ система, становится

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}+{\mathord {\underbrace {\left(g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )-g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{0}}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

которые мы можем перегруппировать, чтобы получить

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}={\mathord {\underbrace {\left(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{F(\mathbf {x} )}}}+g_{x}(\mathbf {x} )\underbrace {\left(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{z_{1}{\text{ error tracking }}u_{x}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

Итак, наша каскадная суперсистема инкапсулирует заведомо стабильную ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}$ подсистема плюс некоторое возмущение ошибки, генерируемое интегратором.

• Теперь мы можем изменить переменные из ${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$ к ${\displaystyle (\mathbf {x} ,e_{1})}$ позволяя ${\displaystyle e_{1}\triangleq z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )}$. Так

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=u_{1}-{\dot {u}}_{x}\end{cases}}}$

Кроме того, мы позволяем ${\displaystyle v_{1}\triangleq u_{1}-{\dot {u}}_{x}}$ так что ${\displaystyle u_{1}=v_{1}+{\dot {u}}_{x}}$ и

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=v_{1}\end{cases}}}$

Мы стремимся стабилизировать это система ошибок по обратной связи через новый элемент управления ${\displaystyle v_{1}}$. За счет стабилизации системы на ${\displaystyle e_{1}=0}$, штат ${\displaystyle z_{1}}$ будет отслеживать желаемый контроль ${\displaystyle u_{x}}$ что приведет к стабилизации внутреннего Икс подсистема.

• Из нашей существующей функции Ляпунова ${\displaystyle V_{x}}$, мы определяем дополненный Функция Ляпунова кандидат

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,e_{1})\triangleq V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}e_{1}^{2}}$

Так

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {V}}_{1}&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}\left(2e_{1}{\dot {e}}_{1}\right)\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}{\dot {e}}_{1}\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}\overbrace {v_{1}} ^{{\dot {e}}_{1}}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\dot {\mathbf {x} }} _{{\text{(i.e., }}{\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}} ^{{\dot {V}}_{x}{\text{ (i.e.,}}{\frac {\operatorname {d} V_{x}}{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}+e_{1}v_{1}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\left((f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\right)} _{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {V}}_{x}}+e_{1}v_{1}\end{aligned}}}$

Распространяя ${\displaystyle \partial V_{x}/\partial \mathbf {x} }$, Мы видим, что

${\displaystyle {\dot {V}}_{1}=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))} ^{{}\leq -W(\mathbf {x} )}+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}\leq -W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}}$

Чтобы гарантировать, что ${\displaystyle {\dot {V}}_{1}\leq -W(\mathbf {x} )<0}$ (т.е. для обеспечения устойчивости надсистемы) выбирать закон контроля

${\displaystyle v_{1}=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}}$

с ${\displaystyle k_{1}>0}$, и так

${\displaystyle {\dot {V}}_{1}=-W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}\overbrace {\left(-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}\right)} ^{v_{1}}}$

После распространения ${\displaystyle e_{1}}$ через,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {V}}_{1}&=-W(\mathbf {x} )+{\mathord {\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}-e_{1}{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )} ^{0}}}-k_{1}e_{1}^{2}\\&=-W(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}^{2}\leq -W(\mathbf {x} )\\&<0\end{aligned}}}$

Итак, наш кандидат Функция Ляпунова ${\displaystyle V_{1}}$ является правда Функция Ляпунова, и наша система стабильный под этим законом контроля ${\displaystyle v_{1}}$ (что соответствует закону управления ${\displaystyle u_{1}}$ потому что ${\displaystyle v_{1}\triangleq u_{1}-{\dot {u}}_{x}}$). Используя переменные из исходной системы координат, эквивалентная функция Ляпунова

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\triangleq V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}}$

(2)

Как обсуждается ниже, эта функция Ляпунова будет использоваться снова, когда эта процедура применяется итеративно к задаче с несколькими интеграторами.

• Наш выбор управления ${\displaystyle v_{1}}$ в конечном итоге зависит от всех наших исходных переменных состояния. В частности, реальный закон управления, стабилизирующий обратную связь

${\displaystyle \underbrace {u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=v_{1}+{\dot {u}}_{x}} _{{\text{By definition of }}v_{1}}=\overbrace {-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(\underbrace {z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )} _{e_{1}})} ^{v_{1}}\,+\,\overbrace {{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(\underbrace {f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}} _{{\dot {\mathbf {x} }}{\text{ (i.e., }}{\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}{\text{)}}})} ^{{\dot {u}}_{x}{\text{ (i.e., }}{\frac {\operatorname {d} u_{x}}{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}}$

(3)

Штаты Икс и ${\displaystyle z_{1}}$ и функции ${\displaystyle f_{x}}$ и ${\displaystyle g_{x}}$ приходят из системы. Функция ${\displaystyle u_{x}}$ происходит из нашей заведомо-стабильной ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}$ подсистема. В прирост параметр ${\displaystyle k_{1}>0}$ влияет на скорость сходимости или нашу систему. Согласно этому закону контроля наша система стабильный в начале ${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})=(\mathbf {0} ,0)}$.

Напомним, что ${\displaystyle u_{1}}$ в уравнении (3) управляет входом интегратора, подключенного к подсистеме, стабилизированной по закону управления ${\displaystyle u_{x}}$. Неудивительно, что контроль ${\displaystyle u_{1}}$ имеет ${\displaystyle {\dot {u}}_{x}}$ срок, который будет интегрирован в соответствии с законом стабилизирующего контроля ${\displaystyle {\dot {u}}_{x}}$ плюс некоторое смещение. Другие члены обеспечивают демпфирование, чтобы удалить это смещение и любые другие эффекты возмущения, которые могут усилиться интегратором.

Так как эта система стабилизирована обратной связью ${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$ и имеет функцию Ляпунова ${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$ с ${\displaystyle {\dot {V}}_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\leq -W(\mathbf {x} )<0}$, его можно использовать как верхнюю подсистему в другой каскадной системе с одним интегратором.

Мотивирующий пример: отступление двух интеграторов

Прежде чем обсуждать рекурсивную процедуру для общего случая множественных интеграторов, поучительно изучить рекурсию, имеющуюся в случае двух интеграторов. То есть рассмотрим динамическая система

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

(4)

куда ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$ скаляры. Эта система представляет собой каскадное соединение системы с одним интегратором в уравнении (1) с другим интегратором (т. е. входом ${\displaystyle u_{2}}$ поступает через интегратор, и выход этого интегратора входит в систему в уравнении (1) своим ${\displaystyle u_{1}}$ Вход).

Позволяя

• ${\displaystyle \mathbf {y} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\z_{1}\end{bmatrix}}\,}$,
• ${\displaystyle f_{y}(\mathbf {y} )\triangleq {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\0\end{bmatrix}}\,}$,
• ${\displaystyle g_{y}(\mathbf {y} )\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}},\,}$

тогда система с двумя интеграторами в уравнении (4) превращается в систему с одним интегратором

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {y} }}=f_{y}(\mathbf {y} )+g_{y}(\mathbf {y} )z_{2}&\quad {\text{( where this }}\mathbf {y} {\text{ subsystem is stabilized by }}z_{2}=u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}.\end{cases}}}$

(5)

По процедуре единственного интегратора закон управления ${\displaystyle u_{y}(\mathbf {y} )\triangleq u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$ стабилизирует верхнюю ${\displaystyle z_{2}}$-к-у подсистема с использованием функции Ляпунова ${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$, и поэтому уравнение (5) представляет собой новую систему с одним интегратором, которая структурно эквивалентна системе с одним интегратором в уравнении (1). Итак, стабилизирующий контроль ${\displaystyle u_{2}}$ можно найти с помощью той же процедуры с одним интегратором, которая использовалась для поиска ${\displaystyle u_{1}}$.

Отступление многих интеграторов

В случае с двумя интеграторами верхняя подсистема с одним интегратором была стабилизирована, давая новую систему с одним интегратором, которую можно стабилизировать аналогичным образом. Эта рекурсивная процедура может быть расширена для обработки любого конечного числа интеграторов. Это утверждение можно формально доказать с помощью математическая индукция. Здесь стабилизированная система с несколькими интеграторами построена из подсистем уже стабилизированных подсистем с несколькими интеграторами.

• Во-первых, рассмотрим динамическая система

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}}$

со скалярным вводом ${\displaystyle u_{x}}$ и состояния вывода ${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{\text{T}}\in \mathbb {R} ^{n}}$. Предположить, что

• • ${\displaystyle f_{x}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ так что нулевой вход (т. е. ${\displaystyle u_{x}=0}$) система стационарный в начале ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$. В этом случае начало координат называется равновесие системы.
  • Закон управления с обратной связью ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$ стабилизирует систему в состоянии равновесия в начале координат.
  • А Функция Ляпунова соответствующий этой системе описывается ${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )}$.

То есть, если состояние вывода Икс возвращаются на вход ${\displaystyle u_{x}}$ по закону контроля ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$, то выходные состояния (и функция Ляпунова) возвращаются в начало координат после однократного возмущения (например, после ненулевого начального условия или резкого возмущения). Эта подсистема стабилизированный по закону управления с обратной связью ${\displaystyle u_{x}}$.

• Затем подключите интегратор для ввода ${\displaystyle u_{x}}$ так что расширенная система имеет ввод ${\displaystyle u_{1}}$ (к интегратору) и состояния выхода Икс. Результирующая расширенная динамическая система имеет вид

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

Эта «каскадная» система соответствует форме в уравнении (1), поэтому процедура обратного шага с одним интегратором приводит к стабилизирующему закону управления в уравнении (3). То есть, если мы возвращаем состояния ${\displaystyle z_{1}}$ и Икс для ввода ${\displaystyle u_{1}}$ согласно закону контроля

${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})}$

с прибылью ${\displaystyle k_{1}>0}$, то состояния ${\displaystyle z_{1}}$ и Икс вернется к ${\displaystyle z_{1}=0}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$ после однократного возмущения. Эта подсистема стабилизированный по закону управления с обратной связью ${\displaystyle u_{1}}$, и соответствующая функция Ляпунова из уравнения (2) является

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}}$

То есть по закону управления с обратной связью ${\displaystyle u_{1}}$, функция Ляпунова ${\displaystyle V_{1}}$ спадает до нуля, когда состояния возвращаются в исходное состояние.

• Подключите новый интегратор к входу ${\displaystyle u_{1}}$ так что расширенная система имеет ввод ${\displaystyle u_{2}}$ и состояния вывода Икс. Результирующая расширенная динамическая система имеет вид

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

что эквивалентно Один-интеграторная система

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{1}(\mathbf {x} _{1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{1}(\mathbf {x} _{1})}z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

Используя эти определения ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$, ${\displaystyle f_{1}}$, и ${\displaystyle g_{1}}$, эту систему также можно выразить как

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

Эта система соответствует структуре с одним интегратором уравнения (1), и поэтому процедура обратного шага с одним интегратором может быть применена снова. То есть, если мы возвращаем состояния ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$, и Икс для ввода ${\displaystyle u_{2}}$ согласно закону контроля

${\displaystyle u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=-{\frac {\partial V_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}g_{1}(\mathbf {x} _{1})-k_{2}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} _{1}))+{\frac {\partial u_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}(f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2})}$

с прибылью ${\displaystyle k_{2}>0}$, то состояния ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$, и Икс вернется к ${\displaystyle z_{1}=0}$, ${\displaystyle z_{2}=0}$, и ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$ после однократного возмущения. Эта подсистема стабилизированный по закону управления с обратной связью ${\displaystyle u_{2}}$, а соответствующая функция Ляпунова есть

${\displaystyle V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} _{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} _{1}))^{2}}$

То есть по закону управления с обратной связью ${\displaystyle u_{2}}$, функция Ляпунова ${\displaystyle V_{2}}$ спадает до нуля, когда состояния возвращаются в исходное состояние.

• Подключите интегратор ко входу ${\displaystyle u_{2}}$ так что расширенная система имеет ввод ${\displaystyle u_{3}}$ и состояния вывода Икс. Результирующая расширенная динамическая система имеет вид

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

которые можно перегруппировать как Один-интеграторная система

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{2}\\z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\0\\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

По определениям ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$, ${\displaystyle f_{1}}$, и ${\displaystyle g_{1}}$ из предыдущего шага эта система также представлена

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

Далее, используя эти определения ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$, ${\displaystyle f_{2}}$, и ${\displaystyle g_{2}}$, эту систему также можно выразить как

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

Таким образом, перегруппированная система имеет структуру с одним интегратором уравнения (1), и поэтому процедура обратного шага с одним интегратором может быть применена снова. То есть, если мы возвращаем состояния ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$, ${\displaystyle z_{3}}$, и Икс для ввода ${\displaystyle u_{3}}$ согласно закону контроля

${\displaystyle u_{3}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},z_{3})=-{\frac {\partial V_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}g_{2}(\mathbf {x} _{2})-k_{3}(z_{3}-u_{2}(\mathbf {x} _{2}))+{\frac {\partial u_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}(f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3})}$

с прибылью ${\displaystyle k_{3}>0}$, то состояния ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$, ${\displaystyle z_{3}}$, и Икс вернется к ${\displaystyle z_{1}=0}$, ${\displaystyle z_{2}=0}$, ${\displaystyle z_{3}=0}$, и ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$ после однократного возмущения. Эта подсистема стабилизированный по закону управления с обратной связью ${\displaystyle u_{3}}$, а соответствующая функция Ляпунова есть

${\displaystyle V_{3}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},z_{3})=V_{2}(\mathbf {x} _{2})+{\frac {1}{2}}(z_{3}-u_{2}(\mathbf {x} _{2}))^{2}}$

То есть по закону управления с обратной связью ${\displaystyle u_{3}}$, функция Ляпунова ${\displaystyle V_{3}}$ спадает до нуля, когда состояния возвращаются в исходное состояние.

• Этот процесс может продолжаться для каждого интегратора, добавленного в систему, и, следовательно, для любой системы вида

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}=z_{i+1}\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-2}=z_{k-1}\\{\dot {z}}_{k-1}=z_{k}\\{\dot {z}}_{k}=u\end{cases}}}$

имеет рекурсивную структуру

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{i}=z_{i+1}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-2}=z_{k-1}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-1}=z_{k}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k}=u\end{cases}}}$

и может быть стабилизирован с обратной связью путем нахождения стабилизирующего обратную связь управления и функции Ляпунова для одиночного интегратора ${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$ подсистема (т.е. с вводом ${\displaystyle z_{2}}$ и вывод Икс) и повторение этой внутренней подсистемы до окончательного управления, стабилизирующего обратную связь. ты известен. На итерации я, эквивалентная система

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i-2}\\{\dot {z}}_{i-1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{i-1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})+g_{i-2}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i-2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}z_{i}&\quad {\text{ ( by Lyap. func. }}V_{i-1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{i-1}({\textbf {x}}_{i-1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{i}=u_{i}\end{cases}}}$

Соответствующий закон управления, стабилизирующий обратную связь, имеет вид

${\displaystyle u_{i}(\overbrace {\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{i}} ^{\triangleq \,\mathbf {x} _{i}})=-{\frac {\partial V_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,-\,k_{i}(z_{i}\,-\,u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))\,+\,{\frac {\partial u_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}(f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,+\,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i})}$

с прибылью ${\displaystyle k_{i}>0}$. Соответствующая функция Ляпунова есть

${\displaystyle V_{i}(\mathbf {x} _{i})=V_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})+{\frac {1}{2}}(z_{i}-u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))^{2}}$

Благодаря этой конструкции окончательный контроль ${\displaystyle u(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k})=u_{k}(\mathbf {x} _{k})}$ (т.е. окончательный контроль находится на последней итерации ${\displaystyle i=k}$).

Следовательно, любая система в этой специальной форме строгой обратной связи со многими интеграторами может быть стабилизирована с использованием обратной связи с помощью простой процедуры, которую можно даже автоматизировать (например, как часть адаптивное управление алгоритм).

Стандартный шаг назад

Системы в специальном форма строгой обратной связи имеют рекурсивную структуру, аналогичную структуре системы со многими интеграторами. Точно так же они стабилизируются путем стабилизации самой маленькой каскадной системы, а затем отступление к следующей каскадной системе и повторением процедуры. Поэтому очень важно разработать пошаговую процедуру; эту процедуру можно рекурсивно применить для многоступенчатого случая. К счастью, из-за требований к функциям в форме строгой обратной связи, каждая одношаговая система может быть визуализирована с помощью обратной связи в систему с одним интегратором, и эта система с одним интегратором может быть стабилизирована с использованием методов, описанных выше.

Одношаговая процедура

Рассмотрим простой строгая обратная связь система

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})u_{1}\end{cases}}}$

(6)

куда

• ${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{\text{T}}\in \mathbb {R} ^{n}}$,
• ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle u_{1}}$ находятся скаляры,
• Для всех Икс и ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\neq 0}$.

Вместо разработки управления со стабилизацией обратной связи ${\displaystyle u_{1}}$ напрямую, ввести новый элемент управления ${\displaystyle u_{a1}}$ (будет разработан потом) и использовать закон контроля

${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})={\frac {1}{g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}}\left(u_{a1}-f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\right)}$

что возможно, потому что ${\displaystyle g_{1}\neq 0}$. Итак, система в уравнении (6) является

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\overbrace {{\frac {1}{g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}}\left(u_{a1}-f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\right)} ^{u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}\end{cases}}}$

что упрощает

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=u_{a1}\end{cases}}}$

Этот новый ${\displaystyle u_{a1}}$-к-Икс system matches the single-integrator cascade system в уравнении (1). Assuming that a feedback-stabilizing control law ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$ и Функция Ляпунова ${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )}$ for the upper subsystem is known, the feedback-stabilizing control law from Equation (3) является

${\displaystyle u_{a1}(\mathbf {x} ,z_{1})=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})}$

с прибылью ${\displaystyle k_{1}>0}$. So the final feedback-stabilizing control law is

${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})={\frac {1}{g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}}\left(\overbrace {-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})} ^{u_{a1}(\mathbf {x} ,z_{1})}\,-\,f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\right)}$

(7)

с прибылью ${\displaystyle k_{1}>0}$. The corresponding Lyapunov function from Equation (2) является

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}}$

(8)

Because this strict-feedback system has a feedback-stabilizing control and a corresponding Lyapunov function, it can be cascaded as part of a larger strict-feedback system, and this procedure can be repeated to find the surrounding feedback-stabilizing control.

Many-step Procedure

As in many-integrator backstepping, the single-step procedure can be completed iteratively to stabilize an entire strict-feedback system. In each step,

1. The smallest "unstabilized" single-step strict-feedback system is isolated.
2. Feedback is used to convert the system into a single-integrator system.
3. The resulting single-integrator system is stabilized.
4. The stabilized system is used as the upper system in the next step.

То есть любой strict-feedback system

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})z_{i+1}\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-2}=f_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2})+g_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2})z_{k-1}\\{\dot {z}}_{k-1}=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2},z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2},z_{k-1})z_{k}\\{\dot {z}}_{k}=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}}$

has the recursive structure

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\end{cases}}\\\vdots \\\end{cases}}\\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})z_{i+1}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-2}=f_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2})+g_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2})z_{k-1}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-1}=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2},z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2},z_{k-1})z_{k}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k}=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}}$

and can be feedback stabilized by finding the feedback-stabilizing control and Lyapunov function for the single-integrator ${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$ subsystem (i.e., with input ${\displaystyle z_{2}}$ and output Икс) and iterating out from that inner subsystem until the ultimate feedback-stabilizing control ты известен. At iteration я, the equivalent system is

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i-2}\\{\dot {z}}_{i-1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{i-1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})+g_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})z_{i-2}\\f_{i-1}(\mathbf {x} _{i})\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\g_{i-1}(\mathbf {x} _{i})\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}z_{i}&\quad {\text{ ( by Lyap. func. }}V_{i-1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{i-1}({\textbf {x}}_{i-1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} _{i})+g_{i}(\mathbf {x} _{i})u_{i}\end{cases}}}$

By Equation (7), the corresponding feedback-stabilizing control law is

${\displaystyle u_{i}(\overbrace {\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{i}} ^{\triangleq \,\mathbf {x} _{i}})={\frac {1}{g_{i}(\mathbf {x} _{i})}}\left(\overbrace {-{\frac {\partial V_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,-\,k_{i}\left(z_{i}\,-\,u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\right)\,+\,{\frac {\partial u_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}(f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,+\,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i})} ^{{\text{Single-integrator stabilizing control }}u_{a\;\!i}(\mathbf {x} _{i})}\,-\,f_{i}(\mathbf {x} _{i-1})\right)}$

с прибылью ${\displaystyle k_{i}>0}$. By Equation (8), the corresponding Lyapunov function is

${\displaystyle V_{i}(\mathbf {x} _{i})=V_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})+{\frac {1}{2}}(z_{i}-u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))^{2}}$

By this construction, the ultimate control ${\displaystyle u(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k})=u_{k}(\mathbf {x} _{k})}$ (i.e., ultimate control is found at final iteration ${\displaystyle i=k}$).Hence, any strict-feedback system can be feedback stabilized using a straightforward procedure that can even be automated (e.g., as part of an адаптивное управление алгоритм).

Смотрите также

• Нелинейное управление
• Strict-feedback form
• Надежный контроль
• Адаптивное управление

Рекомендации

1. Kokotovic, P.V. (1992). "The joy of feedback: nonlinear and adaptive". Журнал IEEE Control Systems. 12 (3): 7–17. Дои:10.1109/37.165507.
2. Lozano, R.; Brogliato, B. (1992). "Adaptive control of robot manipulators with flexible joints". IEEE Transactions по автоматическому контролю. 37 (2): 174–181. Дои:10.1109/9.121619.
3. Халил, Х.К. (2002). Нелинейные системы (3-е изд.). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN  978-0-13-067389-3.