Проблема Бюхиса - Büchis problem

Проблема Бючи, также известный как п проблема квадратов, это открытая проблема от теория чисел назван в честь швейцарского математика Юлиус Рихард Бючи. Спрашивает, есть ли положительное целое число M такая, что каждая последовательность M или более целых квадратов, вторая разность которых постоянна и равна 2, обязательно представляет собой последовательность квадратов вида (Икс + я)², я = 1, 2, ..., M, ... для некоторого целого числаИкс. В 1983 г. Дуглас Хенсли заметил, что проблема Бюхи эквивалентна следующему: существует ли положительное целое число M так что для всех целых чисел Икс и а, количество (Икс + п)² + а не может быть квадратом больше, чем M последовательные значенияп, пока неа = 0?

Постановка проблемы Бючи

Проблему Бюхи можно сформулировать следующим образом: существует ли положительное целое число M такая, что система уравнений

${\displaystyle {\begin{cases}x_{2}^{2}-2x_{1}^{2}+x_{0}^{2}=2\\x_{3}^{2}-2x_{2}^{2}+x_{1}^{2}=2\\{}\quad \vdots \\x_{M-1}^{2}-2x_{M-2}^{2}+x_{M-3}^{2}=2\end{cases}}}$

есть только решения, удовлетворяющие ${\displaystyle x_{n}^{2}=(x_{0}+n)^{2}.}$

Поскольку первое отличие последовательности ${\displaystyle \sigma =(x_{n}^{2})_{n=0,\dots ,M-1}}$ это последовательность ${\displaystyle \Delta ^{(1)}(\sigma )=(x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2})_{n=0,\dots ,M-2}}$, второе отличие ${\displaystyle \sigma }$ является

${\displaystyle \Delta ^{(2)}(\sigma )=((x_{n+2}^{2}-x_{n+1}^{2})-(x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2}))_{n=0,\dots ,M-3}=(x_{n+2}^{2}-2x_{n+1}^{2}+x_{n}^{2})_{n=0,\dots ,M-3}.}$

Следовательно, указанная выше система уравнений эквивалентна одному уравнению

${\displaystyle \Delta ^{(2)}(\sigma )=(2)_{n=0,\dots ,M-3}}$

где неизвестное - это последовательность ${\displaystyle \sigma }$.

Примеры

Обратите внимание, что для любого целого числа Икс у нас есть

${\displaystyle (\star )\qquad (x+2)^{2}-2(x+1)^{2}+x^{2}=2.}$

Следовательно, уравнение ${\displaystyle x_{2}^{2}-2x_{1}^{2}+x_{0}^{2}=2}$ есть решения, называемые тривиальные последовательности Бюхи длины три, так что ${\displaystyle x_{2}^{2}=(x_{0}+2)^{2}}$ и ${\displaystyle x_{1}^{2}=(x_{0}+1)^{2}}$. Например, последовательности (2, 3, 4) и (2, −3, 4) являются тривиальными последовательностями Бюхи. А нетривиальная последовательность Бюхи длины три задается, например, последовательностью (0, 7, 10), поскольку она удовлетворяет 10² − 2·7² + 0² = 2, а 0², 7² и 10² не являются последовательными квадратами.

Замена Икс к Икс +1 в уравнении ${\displaystyle (\star )}$, мы получаем ${\displaystyle (x+3)^{2}-2(x+2)^{2}+(x+1)^{2}=2}$. Отсюда система уравнений

${\displaystyle {\begin{cases}x_{2}^{2}-2x_{1}^{2}+x_{0}^{2}=2\\x_{3}^{2}-2x_{2}^{2}+x_{1}^{2}=2\end{cases}}}$

имеет тривиальные решения Бюхи длины 4, а именно то, что удовлетворяет ${\displaystyle x_{n}^{2}=(x_{0}+n)^{2}}$ за п = 0, 1, 2, 3. В 1983 г. Д. Хенсли показал, что существует бесконечно много нетривиальных последовательностей Бюхи длины четыре. Неизвестно, существует ли какая-либо нетривиальная последовательность Бюхи длины пять (действительно, Бюхи первоначально задавал вопрос только дляM = 5.).

Оригинальная мотивация

Положительный ответ на проблему Бюхи означал бы, что использование отрицательного ответа на Десятая проблема Гильберта к Юрий Матиясевич, что нет алгоритма решать есть ли система диагонали квадратичные формы с целыми коэффициентами представляет собой целочисленный кортеж. В самом деле, Бючи заметил, что возведение в квадрат, а следовательно, и умножение, было бы экзистенциально определимо в целых числах над первый заказ язык, имеющий два символа константы для 0 и 1, символ функции для суммы и символ отношения п чтобы выразить, что целое число - это квадрат.

Некоторые результаты

Пол Войта в 1999 году доказал, что положительный ответ на проблему Бюхи следует из положительного ответа на слабую версию Гипотеза Бомбьери – Ланга. В той же статье он доказывает, что аналог проблемы Бюхи для поля мероморфных функций над комплексными числами имеет положительный ответ. С тех пор были получены положительные ответы на аналоги проблемы Бюхи в различных других кольцах функций (в случае колец функций добавляется гипотеза, что не все Икс_п постоянны).

Рекомендации

• Войта, Пол (1999), Диагональные квадратичные формы и десятая проблема Гильберта, с. 261–274 в Десятая проблема Гильберта: отношения с арифметикой и алгебраической геометрией (Ghent, 1999), под редакцией J. Denef et al., Contemp. Математика. 270, амер. Математика. Соц., Провиденс, Род-Айленд, 2000.
• Липшиц, Леонард (1990), «Квадратичные формы, проблема пяти квадратов и диофантовы уравнения» в Собрание сочинений Дж. Рихарда Бючи. Отредактировано Saunders Mac Lane и Дирк Зифкес. Спрингер, Нью-Йорк.
• Хенсли, Дуглас (1983), «Последовательности квадратов со второй разностью два и гипотеза Бючи», не опубликовано.