Аксиома отсутствия выбора - Axiom of non-choice

В конструктивная теория множеств, то аксиома отсутствия выбора^[1] это версия аксиома выбора ограничивая выбор одним.

Официальное заявление

Если для каждого элемента ${\displaystyle x}$ набора ${\displaystyle A}$ есть ровно один ${\displaystyle y}$ такое, что свойство выполняется, то существует функция ${\displaystyle f}$ с доменом ${\displaystyle A}$ который отображает каждый элемент ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle A}$ к элементу ${\displaystyle f(x)}$ такое, что данное свойство выполняется. Формально аксиому можно сформулировать так:

${\displaystyle \forall x\in A\;\exists !y\;\psi (x,y)\;\to \;\exists f\;(\operatorname {Function} (f)\land \operatorname {Domain} (f)=A{\text{ and }}\forall x\in A\;\psi (x,f(x)))}$

Обсуждение

В ZF (классический Теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора), это теорема, выводимая из аксиомы замены.

В интуиционистской теории множеств Цермело – Френкеля IZF, это утверждение выводится из других аксиом, поскольку функции определены как графики в IZF. В этом случае ${\displaystyle f}$ можно определить как${\displaystyle f=\{(x,y)\mid \psi (x,y)\}}$ и из определения следует, что это действительно функция.

Отличие от обычного аксиома выбора это выбор ${\displaystyle y}$ уникален для каждого ${\displaystyle x}$.

Рекомендации

1. Майхилл, «Некоторые свойства интуиционистской теории множеств Цермело – Френкеля», Труды Кембриджской летней школы 1971 года по математической логике (конспект лекций по математике 337) (1973), стр. 206–231

внешняя ссылка

• Майкл Дж. Бисон, Основы конструктивной математики, Спрингер, 1985