Теорема Аткинсона – Стиглица - Atkinson–Stiglitz theorem

В Теорема Аткинсона – Стиглица это теорема общественная экономика который гласит, что «там, где функция полезности разделяется между трудом и всеми товарами, не нужно применять косвенные налоги», если нелинейное подоходное налогообложение может использоваться государством, и был разработан в основополагающей статье Джозеф Стиглиц и Энтони Аткинсон в 1976 г.^[1] Теорема Аткинсона-Стиглица обычно считается одним из наиболее важных теоретических результатов в общественной экономике и породила обширную литературу, в которой определены условия, при которых эта теорема выполняется, например Саез (2002), который показал, что теорема Аткинсона – Стиглица не выполняется, если домохозяйства имеют гетерогенные, а не однородные предпочтения.^[2][3] На практике теорема Аткинсона – Стиглица часто использовалась в дебатах о оптимальное налогообложение дохода от капитала: Поскольку налогообложение дохода от капитала можно интерпретировать как налогообложение будущего потребления сверх налогообложения текущего потребления, теорема подразумевает, что правительства должны воздерживаться от налогообложения дохода от капитала, если нелинейное налогообложение дохода является вариантом, поскольку налогообложение дохода от капитала не улучшится. справедливости по сравнению с нелинейным подоходным налогом, дополнительно искажая сбережения.

Оптимальное налогообложение

Для физического лица с заработной платой ${\displaystyle w}$, его бюджетное ограничение определяется выражением

${\displaystyle \sum _{j}q_{j}x_{j}=\sum _{j}(x_{j}+t_{j}(x_{j}))=wL-T(wL)\;,}$

куда ${\displaystyle q_{i}}$ и ${\displaystyle x_{i}}$ цена и покупка i-го товара соответственно.

Чтобы максимизировать функцию полезности, условие первого порядка:

${\displaystyle U_{j}={\frac {(1+t'_{j})(-U_{L})}{w(1-T')}}\;(j=1,2,...,N).}$

Правительство максимизирует функцию социального обеспечения, и поэтому

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[wL-\sum _{j}x_{j}-{\overline {R}}\right]dF=0\;.}$

Затем мы используем функцию плотности ${\displaystyle f}$ чтобы выразить гамильтониан:

${\displaystyle H=\left[G(U)-\lambda \left\lbrace wL-\sum _{j}x_{j}-{\overline {R}}\right\rbrace \right]f-\mu \theta U_{L}\;.}$

Принимая его вариацию относительно ${\displaystyle x_{j}}$, воспользуемся условием его максимума.

${\displaystyle -\lambda \left[\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{j}}}\right)_{U}+1\right]-{\frac {\mu \theta }{f}}\left[{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x_{1}\partial L}}\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{j}}}\right)_{U}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x_{j}\partial L}}\right]=0\;.}$

Тогда имеет место следующее соотношение:

${\displaystyle \left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{j}}}\right)_{U}=-{\frac {U_{j}}{U_{1}}}=-{\frac {1+t'_{j}}{1+t'_{1}}}\;.}$

Подставляя это соотношение в указанное выше условие, получаем:

${\displaystyle \lambda \left[{\frac {1+t'_{j}}{1+t'_{1}}}-1\right]={\frac {\mu \theta U_{j}}{f}}\left[{\frac {\partial ^{2}U}{\partial L\partial x_{j}}}\cdot {\frac {1}{U_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}U}{\partial L\partial x_{1}}}\cdot {\frac {1}{U_{1}}}\right]={\frac {\mu \theta U_{j}}{f}}{\frac {\partial }{\partial L}}\left(\ln {U_{j}}-\ln {U_{1}}\right)\;,}$

и получаем

${\displaystyle \lambda \left[{\frac {1+t'_{j}}{1+t'_{1}}}-1\right]={\frac {\mu \theta U_{j}}{f}}{\frac {\partial }{\partial L}}\left(\ln {\frac {U_{j}}{U_{1}}}\right)\;.}$

Обратите внимание, что нет потери общности в настройке ${\displaystyle t'_{1}}$ ноль, поэтому положим ${\displaystyle t'_{1}=0}$. С ${\displaystyle U_{j}=(1+t'_{j})\alpha }$, у нас есть

${\displaystyle {\frac {t'_{j}}{1+t'_{j}}}={\frac {\mu \theta \alpha }{\lambda f}}{\frac {\partial }{\partial L}}\left(\ln {\frac {U_{j}}{U_{1}}}\right)\;.}$

Таким образом, получается, что косвенного налогообложения применять не нужно,^[1] т.е. ${\displaystyle t_{j}=0}$при условии, что функция полезности слабо разделима между трудом и всеми потребительскими товарами.

Другой подход

Джозеф Стиглиц объясняет, почему в косвенном налогообложении нет необходимости, рассматривая теорему Аткинсона-Стиглица с другой точки зрения.^[4]

Базовые концепты

Предположим, что те, кто попадает в категорию 2, более способны. Затем для эффективного по Парето налогообложения, к которому стремится правительство, мы налагаем два условия. Первое условие заключается в том, что полезность категории 1 равна заданному уровню или превышает его:

${\displaystyle {\overline {U}}_{1}\leq V_{1}(C_{1},Y_{1})\quad .}$

Второе условие - государственные доходы ${\displaystyle R}$, который равен или превышает требуемый доход ${\displaystyle {\overline {R}}}$, увеличивается на заданную величину:

${\displaystyle R=-(C_{1}-Y_{1})N_{1}-(C_{2}-Y_{2})N_{2}\;,}$

${\displaystyle {\overline {R}}\leq R\;,}$

куда ${\displaystyle N_{1}}$ и ${\displaystyle N_{2}}$ укажите количество особей каждого типа. В этих условиях государству необходимо максимизировать полезность ${\displaystyle V_{2}(C_{2},Y_{2})}$ категории 2. Затем запишите функцию Лагранжа для этой задачи:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=V_{2}(C_{2},Y_{2})+\mu V_{1}(C_{1},Y_{1})+\lambda _{2}(V_{2}(C_{2},Y_{2})-V_{2}(C_{1},Y_{1}))+\lambda _{1}(V_{1}(C_{1},Y_{1})-V_{1}(C_{2},Y_{2}))+\gamma \left(-(C_{1}-Y_{1})N_{1}-(C_{2}-Y_{2})N_{2}-{\overline {R}}\right)\;,}$

обеспечивающее выполнение ограничений самовыбора, получаем условия первого порядка:

${\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}}-\gamma N_{1}=0\;,}$

${\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}+\gamma N_{1}=0\;,}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{2}}}-\gamma N_{2}=0\;,}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{2}}}+\gamma N_{2}=0\;.}$

Для случая, когда ${\displaystyle \lambda _{1}=0}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}=0}$, у нас есть

${\displaystyle {\frac {\partial V_{i}/\partial Y_{i}}{\partial V_{i}/\partial C_{i}}}+1=0\;,}$

за ${\displaystyle i=1,2}$, и, следовательно, правительство может добиться единовременного налогообложения. Для случая, когда ${\displaystyle \lambda _{1}=0}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}>0}$, у нас есть

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}/\partial Y_{2}}{\partial V_{2}/\partial C_{2}}}+1=0\;,}$

и мы находим, что предельная ставка налога для категории 2 равна нулю. А по категории 1 имеем

${\displaystyle {\frac {\partial V_{1}/\partial Y_{2}}{\partial V_{1}/\partial C_{1}}}=-{\frac {1-\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial Y_{1})/N_{1}\gamma }{1+\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial C_{1})/N_{1}\gamma }}\;.}$

Если мы положим ${\displaystyle \delta _{i}={\frac {\partial V_{i}/\partial Y_{1}}{\partial V_{i}/\partial C_{1}}}\;,\quad (i=1,2)}$, то предельная ставка налога для категории 1 составляет ${\displaystyle \delta _{1}+1}$.

Также у нас есть следующее выражение:

${\displaystyle \delta _{1}=-\left({\frac {1-\nu \delta _{2}}{1+\nu }}\right)\;,}$

где мы обозначаем ${\displaystyle \nu }$ к

${\displaystyle \nu ={\frac {\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial C_{1})}{N_{1}\gamma }}\;.}$

Следовательно, по предположению, ${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$, поэтому мы можем непосредственно доказать, что ${\displaystyle -1<\delta _{1}<\delta _{2}}$. Соответственно, мы находим, что предельная ставка налога для категории 1 положительна.

Для случая, когда ${\displaystyle \lambda _{1}>0}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}=0}$, предельная ставка налога для категории 2 отрицательная. Единовременный налог, взимаемый с физического лица категории 1, стал бы больше, чем налог для категории 2, если бы единовременный налог был возможен.

Различные товары

Теперь нам нужно рассмотреть случай, когда уровень дохода и несколько товаров являются наблюдаемыми.^{[требуется разъяснение ]} Функция потребления каждого индивида выражается в векторной форме как

${\displaystyle {\textbf {C}}_{1}=\sum _{j}C_{1j}{\textbf {e}}_{j}}$

${\displaystyle {\textbf {C}}_{2}=\sum _{j}C_{2j}{\textbf {e}}_{j}\;.}$

В этом случае бюджетное ограничение правительства составляет

${\displaystyle R\leq \sum _{k=1}^{2}(Y_{k}N_{k})-N_{1}\sum _{j}C_{1j}-N_{2}\sum _{j}C_{2j}\;.}$

Тогда у нас есть

${\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1j}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}-\gamma N_{1}=0\;,}$

${\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}+\gamma N_{1}=0\;,}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{2j}}}-\gamma N_{2}=0\;,}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{2}}}+\gamma N_{2}=0\;.}$

Здесь мы ограничиваемся случаем, когда ${\displaystyle \lambda _{1}=0}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}>0}$. Следует, что

${\displaystyle {\frac {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2n}}}}=1\;,\quad {\frac {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}}=1\;.}$

Предположим, что все люди имеют одинаковую кривую безразличия в плоскости C-L. Разделение досуга и потребления позволяет нам иметь ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U_{k}}{\partial C_{kj}\partial L_{k}}}=0\;,}$ что дает

${\displaystyle {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}={\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1j}}}\;.}$

В результате получаем

${\displaystyle {\frac {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1n}}}}=1\;.}$

Таким образом, мы обнаруживаем, что нет необходимости в налогообложении товаров.^[4]

Условия рандомизации

Нам нужно рассмотреть случай, когда люди с высокими способностями (которые обычно зарабатывают больше денег, чтобы показать свои способности) притворяются, будто они не более способные. В этом случае можно было бы утверждать, что правительству необходимо рандомизировать налоги, взимаемые с лиц с ограниченными возможностями, с целью повышения эффективности скрининг. Возможно, что при определенных условиях мы сможем провести рандомизацию налогов без ущерба для лиц с низким уровнем способностей, и поэтому мы обсуждаем условия. В случае, когда человек решает продемонстрировать свои способности, мы видим, что налоговый график связан с ${\displaystyle \lbrace C_{2}^{*},Y_{2}^{*}\rbrace }$. Для случая, когда человек предпочитает скрыть свои способности, мы видим одну из двух налоговых таблиц: ${\displaystyle \lbrace C_{1}^{*},Y_{1}^{*}\rbrace }$ и ${\displaystyle \lbrace C_{1}^{**},Y_{1}^{**}\rbrace }$. Рандомизация проводится таким образом, чтобы риск первого случая отличался от риска второго.

Чтобы избежать попадания в группу с низкими способностями, среднее потребление должно быть увеличено на каждом этапе. ${\displaystyle Y}$. По мере увеличения потребления повышается ${\displaystyle {\overline {C}}_{1}}$ установлен на более высокий ${\displaystyle {\overline {Y}}_{1}}$. Тогда отношения между этими переменными будут

${\displaystyle C_{1}^{*}={\overline {C}}_{1}+h\;,\quad Y_{1}^{*}={\overline {Y}}_{1}+\lambda h}$

${\displaystyle C_{1}^{**}={\overline {C}}_{1}-h\;,\quad Y_{1}^{**}={\overline {Y}}_{1}-\lambda h\;.}$

Функция полезности ${\displaystyle V_{2}(C_{1}^{*},Y_{1}^{*})}$ и ${\displaystyle V_{2}(C_{1}^{**},Y_{1}^{**})}$, и у нас есть условие оптимума:

${\displaystyle V_{2C^{*}}(d{\overline {C}}_{1}+dh)+V_{2Y^{*}}(d{\overline {Y}}_{1}+\lambda dh)+V_{2C^{**}}(d{\overline {C}}_{1}-dh)+V_{2Y^{**}}(d{\overline {Y}}_{1}-\lambda dh)=0\;,}$

и аналогично

${\displaystyle V_{1C^{*}}(d{\overline {C}}_{1}+dh)+V_{1Y^{*}}(d{\overline {Y}}_{1}+\lambda dh)+V_{1C^{**}}(d{\overline {C}}_{1}-dh)+V_{1Y^{**}}(d{\overline {Y}}_{1}-\lambda dh)=0\;.}$

И соответственно имеем

${\displaystyle {\begin{bmatrix}SV_{2C}&SV_{2Y}\\SV_{1C}&SV_{1Y}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d{\overline {C}}\\d{\overline {Y}}\end{bmatrix}}=-{\begin{bmatrix}DV_{2C}+\lambda DV_{2Y}\\DV_{1C}+\lambda DV_{1C}\end{bmatrix}}dh\;,}$

куда ${\displaystyle SV_{kC}=V_{kC^{*}}+V_{kC^{**}}}$ и ${\displaystyle SV_{kY}=V_{kY^{*}}+V_{kY^{**}}}$ и ${\displaystyle k=1,2}$. по аналогии ${\displaystyle DV_{kC}=V_{kC^{*}}-V_{kC^{**}}}$ и ${\displaystyle DV_{kY}=V_{kY^{*}}-V_{kY^{**}}}$.

Тогда у нас есть

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {d({\overline {Y}}-{\overline {C}})}{dh}}={\frac {F_{1}-F_{2}}{(-2)(MRS_{1}-MRS_{2})}}\;,}$

куда ${\displaystyle MRS_{k}=-({\frac {\partial V_{k}}{\partial C_{1}}})^{-1}{\frac {\partial V_{k}}{\partial Y_{1}}}}$. Относительно ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ мы обозначаем их через ${\displaystyle F_{1}=({\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1}}})^{-1}M_{2}(1-MRS_{1})}$ и ${\displaystyle F_{2}=({\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}})^{-1}M_{1}(1-MRS_{2})}$. Также мы определяем ${\displaystyle M_{k}}$ к ${\displaystyle M_{k}=DV_{kC}+\lambda DV_{kY}}$. Но первая производная от ${\displaystyle {\overline {Y}}-{\overline {C}}}$ в отношении к ${\displaystyle h}$, в ${\displaystyle h=0}$, равно нулю (поскольку ${\displaystyle M_{k}=0}$), поэтому нам нужно вычислить его вторую производную.

${\displaystyle {\frac {d^{2}({\overline {Y}}-{\overline {C}})}{dh^{2}}}=H_{1}+H_{2}\;,}$

куда ${\displaystyle H_{1}={\frac {d(F_{1}-F_{2})}{dh}}{\frac {1}{-2(MRS_{1}-MRS_{2})}}}$ и ${\displaystyle H_{2}=(-1){\frac {d({\overline {Y}}-{\overline {C}})}{dh}}{\frac {d\ln {(-2)(MRS_{1}-MRS_{2})}}{dh}}}$. И так ${\displaystyle H_{2}}$ исчезает в ${\displaystyle h=0}$. Тогда у нас есть

${\displaystyle {\frac {d^{2}({\overline {Y}}-{\overline {C}})}{dh^{2}}}={\frac {I_{1}+I_{2}}{(-1)(MRS_{1}-MRS_{2})}}\;\;.}$

${\displaystyle I_{1}=(V_{2CC}+2\lambda V_{2CY}+\lambda ^{2}V_{2YY})({\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1}}})^{-1}(1-MRS_{1})}$

${\displaystyle I_{2}=(-1)(V_{1CC}+2\lambda V_{1CY}+\lambda ^{2}V_{1YY})({\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}})^{-1}(1-MRS_{2})}$

С ${\displaystyle MRS_{2}<MRS_{1}<1}$, получаем условие, при котором желательна рандомизация:^[4]

${\displaystyle (V_{2CC}+2\lambda V_{2CY}+\lambda ^{2}V_{2YY})(V_{1C_{1}}+V_{2Y_{1}})-(V_{1CC}+2\lambda V_{1CY}+\lambda ^{2}V_{2YY})(V_{2C_{1}}+V_{2Y_{1}})<0\;.}$

Смотрите также

• Перераспределение богатства
• Оптимальность по Парето

Рекомендации

1. Аткинсон, А.Б .; Стиглиц, Дж. Э. (1976). «Дизайн налоговой структуры: прямое против косвенного налогообложения». Журнал общественной экономики. 6 (1–2): 55–75 [стр. 74]. Дои:10.1016/0047-2727(76)90041-4.
2. Саез, Э. (2002). «Желательность налогообложения товаров при нелинейном налогообложении доходов и неоднородных вкусах» (PDF). Журнал общественной экономики. 83 (2): 217–230. Дои:10.1016 / S0047-2727 (00) 00159-6.
3. Boadway, R.W .; Пестьо, П. (2003). «Косвенное налогообложение и перераспределение: объем теоремы Аткинсона-Стиглица». Экономика для несовершенного мира: очерки в честь Джозефа Э. Стиглица. MIT Press. С. 387–403. ISBN  0-262-01205-7.
4. Дж. Э. Стиглиц, Журнал общественной экономики, 17 (1982) 213-124, Северная Голландия