Приблизительное касательное пространство - Approximate tangent space

В геометрическая теория меры ан приблизительное касательное пространство это теоретическая мера обобщение концепции касательное пространство для дифференцируемое многообразие.

Определение

В дифференциальная геометрия определяющая характеристика касательное пространство в том, что он приближает гладкую многообразие к первому порядку вблизи точки касания. Точно так же, если мы увеличиваем все больше и больше в точке касания, многообразие становится все более и более прямым, асимптотически стремясь приблизиться к касательному пространству. Это оказывается правильной точкой зрения геометрической теории меры.

Определение множеств

Определение. Позволять ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ быть набором, который измеримый относительно м-размерный Мера Хаусдорфа ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$, и такая, что мера ограничения ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\llcorner M}$ это Радоновая мера. Мы говорим, что м-мерное подпространство ${\displaystyle P\subset \mathbb {R} ^{n}}$ это приблизительное касательное пространство к ${\displaystyle M}$ в определенный момент ${\displaystyle x}$, обозначенный ${\displaystyle T_{x}M=P}$, если

${\displaystyle \left({\mathcal {H}}^{m}\llcorner M\right)_{x,\lambda }\rightharpoonup {\mathcal {H}}^{m}\llcorner P}$ в качестве ${\displaystyle \lambda \downarrow 0}$

в смысле Радоновые меры. Здесь по любой мере ${\displaystyle \mu }$ обозначим через ${\displaystyle \mu _{x,\lambda }}$ масштабированная и переведенная мера:

${\displaystyle \mu _{x,\lambda }(A):=\lambda ^{-n}\mu (x+\lambda A),\qquad A\subset \mathbb {R} ^{n}}$

Конечно, любое классическое касательное пространство к гладкому подмногообразию является приближенным касательным пространством, но обратное не обязательно верно.

Кратности

Парабола

${\displaystyle M_{1}:=\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {R} ^{2}}$

- гладкое одномерное подмногообразие. Его касательное пространство в начале координат ${\displaystyle (0,0)\in M_{1}}$ это горизонтальная линия ${\displaystyle T_{(0,0)}M_{1}=\mathbb {R} \times \{0\}}$. С другой стороны, если мы включим отражение вдоль Икс-ось:

${\displaystyle M_{2}:=\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}\cup \{(x,-x^{2}):x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {R} ^{2}}$

тогда ${\displaystyle M_{2}}$ больше не является гладким одномерным подмногообразием, и в нуле нет классического касательного пространства. С другой стороны, увеличивая масштаб в начале координат, набор ${\displaystyle M_{2}}$ примерно равна двум прямым, которые в пределе перекрываются. Было бы разумно сказать, что он имеет приблизительное касательное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ с кратностью два.

Определение мер

Можно обобщить предыдущее определение и перейти к определению приближенных касательных пространств для некоторых Радоновые меры с учетом множественности, как описано в разделе выше.

Определение. Позволять ${\displaystyle \mu }$ быть мерой Радона на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Мы говорим, что м-мерное подпространство ${\displaystyle P\subset \mathbb {R} ^{n}}$ приблизительное касательное пространство к ${\displaystyle \mu }$ в какой-то момент ${\displaystyle x}$ с множеством ${\displaystyle \theta (x)\in (0,\infty )}$, обозначенный ${\displaystyle T_{x}\mu =P}$ с множеством ${\displaystyle \theta (x)}$, если

${\displaystyle \mu _{x,\lambda }\rightharpoonup \theta \;{\mathcal {H}}^{m}\llcorner P}$ в качестве ${\displaystyle \lambda \downarrow 0}$

в смысле радоновых мер. Правая часть постоянно кратна м-размерный Мера Хаусдорфа ограниченный ${\displaystyle P}$.

Это определение обобщает определение множеств, как можно увидеть, взяв ${\displaystyle \mu :={\mathcal {H}}^{n}\llcorner M}$ для любого ${\displaystyle M}$ как в этом разделе. Это также учитывает приведенный выше пример отраженного параболоида, потому что для ${\displaystyle \mu :={\mathcal {H}}^{1}\llcorner M_{2}}$ у нас есть ${\displaystyle T_{(0,0)}\mu =\mathbb {R} \times \{0\}}$ с кратностью два.

Отношение к выпрямляемым комплектам

Понятие приближенных касательных пространств очень тесно связано с понятием выпрямляемые наборы. Грубо говоря, спрямляемые множества - это как раз те, для которых приближенные касательные пространства существуют почти всюду. Следующая лемма инкапсулирует это отношение:

Лемма. Позволять ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ быть измеримый относительно м-размерный Мера Хаусдорфа. потом ${\displaystyle M}$ м-исправимый тогда и только тогда, когда существует положительное локально ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-интегрируемая функция ${\displaystyle \theta :M\to (0,\infty )}$ так что Радоновая мера

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\theta (x)\,d{\mathcal {H}}^{m}(x)}$

имеет приблизительные касательные пространства ${\displaystyle T_{x}\mu }$ за ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-почти каждый ${\displaystyle x\in M}$.

Рекомендации

• Саймон, Леон (1983), Лекции по геометрической теории меры, Труды Центра математического анализа, 3, Австралийский национальный университет, в частности, главу 3, раздел 11 «Основные понятия, касательные свойства."