Точка Аполлония - Apollonius point

В треугольник геометрия, то Точка Аполлония особая точка, связанная с самолет треугольник. Дело в центр треугольника и он обозначен как X (181) в Кларк Кимберлинг с Энциклопедия центров треугольников (ETC). Центр Аполлония также связан с Проблема Аполлония.

В литературе термин "Аполлоний указывает"также использовалось для обозначения изодинамические точки треугольника.^[1] Это использование также может быть оправдано на том основании, что изодинамические точки связаны с тремя Аполлонические круги связанный с треугольником.

Решение проблемы Аполлония известно веками. Но точка Аполлония впервые была отмечена в 1987 году.^[2][3]

Определение

Точка Аполлония треугольника определяется следующим образом.

Позволять ABC быть любым заданным треугольником. Пусть вне окружности треугольника ABC напротив вершин А, B, C быть E_А, E_B, E_C соответственно. Позволять E быть кругом, который касается трех вневписанных кругов E_А, E_B, E_C так что три вневписанных окружности находятся внутри E. Позволять А ' , B ' , C ' быть точками соприкосновения круга E с тремя вневписанными кругами. Линии AA ' , BB ' , CC ' находятся одновременный. Точка совпадения - это Точка Аполлония треугольника ABC.

Проблема Аполлония - это проблема построения окружности, касательной к трем заданным окружностям на плоскости. В общем, есть восемь кругов, соприкасающихся с тремя заданными кругами. Круг E упомянутая в приведенном выше определении является одной из этих восьми окружностей, касающихся трех вневписанных окружностей треугольника. ABC. В Энциклопедия центров треугольников круг E называется Круг Аполлония треугольника ABC.

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки Аполлония равны^[2]

${\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}}$

${\displaystyle =\sin ^{2}A\cos ^{2}({\frac {B}{2}}-{\frac {C}{2}}):\sin ^{2}B\cos ^{2}({\frac {C}{2}}-{\frac {A}{2}}):\sin ^{2}C\cos ^{2}({\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}).}$

Рекомендации

1. Катаржина Вильчек (2010). «Гармонический центр трехугольника и точка Аполлония треугольника». Журнал математики и приложений. 32: 95–101.
2. Кимберлинг, Кларк. «Мыс Аполлония». Архивировано из оригинал 10 мая 2012 г.. Получено 16 мая 2012.
3. К. Кимберлинг; Шико Ивата; Хидетоси Фукагава (1987). «Проблема 1091 и решение». Crux Mathematicorum. 13: 217–218.

Смотрите также

• Теорема Аполлония
• Аполлоний Пергский (262–190 до н.э.), геометр и астроном
• Проблема аполлония
• Аполлонические круги
• Изодинамическая точка треугольника