Уловка анализа - Analytization trick

В трюк с аналитикой это эвристический часто применяется физики.

Предположим, у нас есть функция ж из комплексная переменная z который нет аналитический, но бывает дифференцируемый что касается его настоящий и воображаемый компоненты отдельно. Дифференцировать ж относительно z не может быть и речи, но оказывается, если

${\displaystyle f(z)=g({\bar {z}},z)}$

для некоторых аналитическая функция грамм из две комплексные переменные, мы можем притвориться ж является грамм (физики постоянно этим занимаются) и работают с

${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}g\right|_{z_{1}={\bar {z}};z_{2}=z}}$

и

${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}g\right|_{z_{1}={\bar {z}};z_{2}=z}}$

вместо. Физики пишут это как

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}f({\bar {z}},z)}$

и

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}f({\bar {z}},z)}$

и дать немного размахивание руками объяснение почему ${\displaystyle {\bar {z}}}$ и z могут рассматриваться как «независимые», хотя на самом деле таковыми не являются.

Обратите внимание, что если грамм существует, он единственен (в силу теоремы о единственности аналитические продолжения ), по крайней мере, если игнорировать такие сложности, как срезы веток и так далее.

Концептуально, всякий раз, когда используется этот трюк, это, вероятно, означает на физическом уровне, что переменная z, с которой они работают, «действительно» имеет реальную структуру, и физики просто классифицируют ее как комплексную переменную.

На самом деле даже аналитический грамм. Этого достаточно для ж быть дифференцируемый в отношении его настоящий и воображаемый компоненты (или n раз дифференцируемые, в зависимости от обстоятельств). В таком случае,

${\displaystyle f({\bar {z}},z)}$

нужно рассматривать чисто формально.