Эссе к решению проблемы в Доктрине Шанса - An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances

Эссе к решению проблемы в Доктрине Шанса это работа по математике теория вероятности к Томас Байес, опубликовано в 1763 г.,^[1] через два года после смерти автора, и содержит множество поправок и дополнений, причитающихся его другу Ричард Прайс. Название происходит от современного использования фразы «доктрина шансов» для обозначения теории вероятности, которая была введена через название книги к Авраам де Муавр. Современные репринты эссе носят более конкретное и значимое название: Метод вычисления точной вероятности всех выводов, основанный на индукции.^[2]

В эссе включены теоремы условная возможность которые составляют основу того, что сейчас называется Теорема Байеса, вместе с подробным описанием проблемы установки априорная вероятность.

Байес предположил последовательность независимых экспериментов, результатом каждого из которых является успех или неудача, причем вероятность успеха равна некоторому числу. п между 0 и 1. Но тогда он предположил п быть неопределенной величиной, вероятность попадания которой в любой интервал от 0 до 1 равна длине интервала. Говоря современным языком, п будет считаться случайная переменная равномерно распределены от 0 до 1. Условно от стоимости п, испытания, приведшие к успеху или неудаче, являются независимыми, но безусловно (или "незначительно ") нет. Это потому, что если наблюдается большое количество успехов, то п с большей вероятностью будет большим, так что успех в следующем испытании более вероятен. Байес задавал вопрос: каково условное распределение вероятностей п, учитывая количество наблюдаемых успехов и неудач. Ответ в том, что это функция плотности вероятности является

${\displaystyle f(p)={\frac {(n+1)!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}{\text{ for }}0\leq p\leq 1}$

(и ƒ(п) = 0 для п <0 или п > 1) где k количество достигнутых успехов, и п количество испытаний, наблюдаемых на данный момент. Это то, что сегодня называется Бета-распределение с параметрами k + 1 и п − k + 1.

Контур

Предварительные результаты Байеса по условной вероятности (особенно предложения 3, 4 и 5) предполагают истинность теоремы, названной в его честь. Он утверждает:"Если будет два последующих события, вероятность второго b / N и вероятность того и другого вместе P / N, и первое обнаружение, что второе событие также произошло, поэтому я предполагаю, что первое событие также произошло вероятность того, что я прав, равна P / b ".. Символически это означает (см. Stigler 1982):

${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}},{\text{ if }}P(A)\neq 0,}$

что приводит к теореме Байеса для условных вероятностей:

${\displaystyle \Rightarrow P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},{\text{ if }}P(B)\neq 0.}$

Однако не похоже, чтобы Байес акцентировал внимание на этом открытии или сосредоточился на нем. Скорее он сосредоточился на поиске решения гораздо более широкой проблемы вывода:

«Учитывая количество раз, когда неизвестное событие происходило и не удавалось [... Найти] вероятность того, что это произойдет в одном испытании, находится где-то между любыми двумя степенями вероятности, которые могут быть названы».^[1]

В эссе приведен пример человека, пытающегося угадать соотношение «пробелов» и «призов» в лотерее. Пока что мужчина наблюдал за розыгрышем десяти бланков и одного приза. С учетом этих данных Байес подробно показал, как вычислить вероятность того, что соотношение бланков и призов составляет от 9: 1 до 11: 1 (вероятность низкая - около 7,7%). Он продолжил описывать это вычисление после того, как человек наблюдал за розыгрышем в лотерею двадцати бланков и двух призов, сорока бланков и четырех призов и так далее. Наконец, разыграв 10 000 бланков и 1 000 призов, вероятность достигает 97%.^[1]

Главный результат Байеса (предложение 9) в современном понимании выглядит следующим образом:

Предположим, что равномерное предварительное распределение биномиального параметра ${\displaystyle p}$. После наблюдения ${\displaystyle m}$ успехов и ${\displaystyle n}$ неудачи,

${\displaystyle P(a<p<b\mid m;n)={\frac {\int _{a}^{b}{n+m \choose m}p^{m}(1-p)^{n}\,dp}{\int _{0}^{1}{n+m \choose m}p^{m}(1-p)^{n}\,dp}}.}$

Неясно, был ли Байес «байесовцем» в современном смысле этого слова. То есть интересовался ли он Байесовский вывод, или просто в вероятность. Предложение 9 кажется байесовским в его представлении как вероятности параметр ${\displaystyle p}$. Тем не менее, Байес сформулировал свой вопрос в манере, которая предполагает частую точку зрения: он предположил, что шар случайно брошен на квадратный стол (этот стол часто ошибочно принимают за бильярдный стол, а шар - за бильярдный шар, но Байес никогда не делал этого). описывает их как таковые), и рассматривал дальнейшие шары, которые падают слева или справа от первого шара с вероятностями ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle 1-p}$. Алгебра, конечно же, идентична независимо от того, какую точку зрения выбрать.

Ричард Прайс и существование Бога

Ричард Прайс обнаружил эссе Байеса и его ныне знаменитую теорему в статьях Байеса после его смерти. Он считал, что теорема Байеса помогла доказать существование Бог («Божество») и написал во введении к эссе следующее:

"Цель, которую я имею в виду, состоит в том, чтобы показать, какие у нас есть основания полагать, что в устройстве вещей есть фиксированные законы, в соответствии с которыми вещи происходят, и что, следовательно, структура мира должна быть результатом мудрости и силы разумной причины; и таким образом подтвердить аргумент, взятый из конечных причин существования Божества. Легко увидеть, что обратная проблема, решенная в этом эссе, более непосредственно применима к этой цели, поскольку она показывает нам, что ясность и точность, в каждом случае любого конкретного порядка или повторяемости событий, какие есть основания полагать, что такая повторяемость или порядок проистекает из устойчивых причин или правил в природе, а не из каких-либо случайных отклонений ". (Философские труды Лондонского королевского общества, 1763 г.)^[1]

Говоря современным языком, это пример телеологический аргумент.

Версии эссе

• Байес, мистер; Прайс, мистер (1763 г.). «Очерк решения проблемы в доктрине случайностей. Покойный преподобный г-н Байес, Ф. Р. С., переданный г-ном Прайсом в письме Джону Кантону, А. М. Ф. Р. С.» (PDF). Философские труды Лондонского королевского общества. 53: 370–418. Дои:10.1098 / рстл.1763.0053.
• Барнард, Г. А (1958). "Исследования по истории вероятности и статистики: Ix. Эссе Томаса Байеса о решении проблемы в доктрине вероятностей". Биометрика. 45 (3–4): 293–295. Дои:10.1093 / biomet / 45.3-4.293.
• Томас Байес «Очерк решения проблемы в доктрине шансов». (Эссе Байеса в оригинальных обозначениях)

Комментарии

• Г. А. Барнард (1958) "Исследования по истории вероятности и статистики: IX. Эссе Томаса Байеса о решении проблемы в доктрине вероятностей", Биометрика 45:293–295. (биографические примечания)
• Стивен М. Стиглер (1982). «Байесовский вывод Томаса Байеса», Журнал Королевского статистического общества, Series A, 145: 250–258. (Стиглер выступает за новую интерпретацию эссе; рекомендуется)
• Исаак Тодхантер (1865). История математической теории вероятностей со времен Паскаля до Лапласа, Macmillan. Перепечатано «Челси» в 1949, 1956 годах и Томмесом в 2001 году.

Рекомендации

1. Байес, мистер; Прайс, мистер (1763 г.). «Очерк решения проблемы в доктрине случайностей. Покойный преподобный г-н Байес, Ф. Р. С., переданный г-ном Прайсом в письме Джону Кантону, А. М. Ф. Р. С.» (PDF). Философские труды Лондонского королевского общества. 53: 370–418. Дои:10.1098 / рстл.1763.0053. Архивировано из оригинал (PDF) на 2011-04-10. Получено 2011-09-25.
2. Стиглер, Стивен М (2013). «Подлинное название эссе Байеса». Статистическая наука. 28 (3): 283–288. arXiv:1310.0173. Дои:10.1214 / 13-STS438.

внешняя ссылка

• Эссе к решению проблемы в Доктрине Шанса в viaLibri
• Эссе к решению проблемы в Доктрине Шанса на UCLA Департамент статистики