Амицур комплекс - Amitsur complex

В алгебре Амицур комплекс это естественный сложный связано с гомоморфизм колец. Он был введен в (Амицур 1959 г. ). Когда гомоморфизм точно плоский, комплекс Амицура является точным (определяющим разрешение), что является основой теории точно ровный спуск.

Это понятие следует рассматривать как механизм, выходящий за рамки обычного локализация колец и модулей.^[1]

Определение

Позволять ${\displaystyle \theta :R\to S}$ - гомоморфизм колец (необязательно коммутативных). Сначала определите косимплициальный набор ${\displaystyle C^{\bullet }=S^{\otimes \bullet +1}}$ (куда ${\displaystyle \otimes }$ относится к ${\displaystyle \otimes _{R}}$, нет ${\displaystyle \otimes _{\mathbb {Z} }}$) следующее. Определите карты лиц ${\displaystyle d^{i}:S^{\otimes {n+1}}\to S^{\otimes n+2}}$ вставив 1 в я-я точка:^{[примечание 1]}

${\displaystyle d^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i-1}\otimes 1\otimes x_{i}\otimes \cdots \otimes x_{n}.}$

Определите вырождение ${\displaystyle s^{i}:S^{\otimes n+1}\to S^{\otimes n}}$ путем умножения я-го и (я + 1) -ые места:

${\displaystyle s^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i}x_{i+1}\otimes \cdots \otimes x_{n}.}$

Они удовлетворяют «очевидным» косимплициальным тождествам и, следовательно, ${\displaystyle S^{\otimes \bullet +1}}$ является косимплициальным множеством. Затем он определяет комплекс с увеличением ${\displaystyle \theta }$, то Амицур комплекс:^[2]

${\displaystyle 0\to R\,{\overset {\theta }{\to }}\,S\,{\overset {\delta ^{0}}{\to }}\,S^{\otimes 2}\,{\overset {\delta ^{1}}{\to }}\,S^{\otimes 3}\to \cdots }$

куда ${\displaystyle \delta ^{n}=\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{i}d^{i}.}$

Точность комплекса Амицур

Совершенно плоский корпус

В приведенных выше обозначениях, если ${\displaystyle \theta }$ точно плоский, то теорема Гротендика утверждает, что (расширенный) комплекс ${\displaystyle 0\to R{\overset {\theta }{\to }}S^{\otimes \bullet +1}}$ является точным и, следовательно, является разрешением. В более общем смысле, если ${\displaystyle \theta }$ точно плоский справа, то для каждого левого р-модуль M,

${\displaystyle 0\to M\to S\otimes _{R}M\to S^{\otimes 2}\otimes _{R}M\to S^{\otimes 3}\otimes _{R}M\to \cdots }$

точно.^[3]

Доказательство:

Шаг 1: Утверждение верно, если ${\displaystyle \theta :R\to S}$ расщепляется как гомоморфизм колец.

Который "${\displaystyle \theta }$ раскол »- это сказать ${\displaystyle \rho \circ \theta =\operatorname {id} _{R}}$ для некоторого гомоморфизма ${\displaystyle \rho :S\to R}$ (${\displaystyle \rho }$ это опровержение и ${\displaystyle \theta }$ секция). Учитывая такой ${\displaystyle \rho }$, определять

${\displaystyle h:S^{\otimes n+1}\otimes M\to S^{\otimes n}\otimes M}$

к

${\displaystyle {\begin{aligned}&h(x_{0}\otimes m)=\rho (x_{0})\otimes m,\\&h(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m)=\theta (\rho (x_{0}))x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m.\end{aligned}}}$

Несложное вычисление показывает следующую идентичность: с ${\displaystyle \delta ^{-1}:M{\overset {\theta \otimes \operatorname {id} _{M}}{\to }}S\otimes _{R}M}$,

${\displaystyle h\circ \delta ^{n}+\delta ^{n-1}\circ h=\operatorname {id} _{S^{\otimes n+1}\otimes M}}$.

Это значит, что час это оператор гомотопии и так ${\displaystyle \operatorname {id} _{S^{\otimes n+1}\otimes M}}$ определяет нулевое отображение на когомологиях, т. е. комплекс точен.

Шаг 2: Утверждение в целом верно.

Заметим, что ${\displaystyle S\to T:=S\otimes _{R}S,\,x\mapsto 1\otimes x}$ это раздел ${\displaystyle T\to S,\,x\otimes y\mapsto xy}$. Таким образом, шаг 1 применяется к гомоморфизму расщепленных колец ${\displaystyle S\to T}$ подразумевает:

${\displaystyle 0\to M_{S}\to T\otimes _{S}M_{S}\to T^{\otimes 2}\otimes _{S}M_{S}\to \cdots ,}$

куда ${\displaystyle M_{S}=S\otimes _{R}M}$, это точно. С ${\displaystyle T\otimes _{S}M_{S}\simeq S^{\otimes 2}\otimes _{R}M}$и т. д., говоря «точно плоский», исходная последовательность является точной. ${\displaystyle \square }$

Случай дуговой топологии

Бхатт и Шольце (2019, §8) показывают, что комплекс Амицура точен, если р и S являются (коммутативными) идеальные кольца, и карта должна быть покрытием в дуговая топология (что является более слабым условием, чем прикрытие в плоская топология ).

Рекомендации

1. Обратите внимание, что ссылка (М. Артин), похоже, содержит опечатку, и это должна быть правильная формула; см. расчет s⁰ и d² в примечании.

1. (Артин 1999, III.7.)
2. Артин 1999, III.6.
3. Артин, Теорема III.6.6. ошибка harvnb: нет цели: CITEREFArtin (помощь)

• Артин, Майкл (1999), Некоммутативные кольца (конспекты лекций Беркли) (PDF)
• Амицур, Шимшон (1959), "Простые алгебры и группы когомологий произвольных полей", Труды Американского математического общества, 90 (1): 73–112
• Бхатт, Бхаргав; Шольце, Питер (2019), Призмы и призматические когомологии, arXiv:1905.08229
• Амицур комплекс в nLab