Гипотеза Айзерманса - Aizermans conjecture

В нелинейное управление, Гипотеза Айзермана или же Проблема Айзермана утверждает, что линейная система с обратной связью с секторной нелинейностью будет стабильной, если линейная система устойчива при любом линейном усилении сектора. Эта гипотеза оказалась ложной, но привела к (действительному) достаточные критерии абсолютной устойчивости.

Математическая формулировка гипотезы Айзермана (проблема Айзермана)

Рассмотрим систему с одной скалярной нелинейностью

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Px+qf(e),\quad e=r^{*}x\quad x\in \mathbb {R} ^{n},}$

где P - постоянная n × n-матрица, q, r - постоянные n-мерные векторы, ∗ - операция транспонирования, f (e) - скалярная функция и f (0) = 0. Предположим, что нелинейность f ограничена сектором, что означает, что для некоторого действительного ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ с ${\displaystyle k_{1}<k_{2}}$, функция ${\displaystyle f}$ удовлетворяет

${\displaystyle k_{1}<{\frac {f(e)}{e}}<k_{2},\quad \forall \;e\neq 0.}$

Тогда гипотеза Айзермана состоит в том, что система устойчива в целом (т.е. единственная стационарная точка является глобальной. аттрактор ), если все линейные системы с f (e) = ke, k ∈ (k1, k2) асимптотически устойчивы.

Существуют контрпримеры к гипотезе Айзермана, такие, что нелинейность принадлежит сектору линейной устойчивости и единственное устойчивое равновесие сосуществует с устойчивым периодическим решением:скрытое колебание.^[1][2][3][4]

Гипотеза Айзермана усиливается. Гипотеза Кальмана (или же Проблема калмана ) где вместо условия на нелинейность требуется, чтобы производная нелинейности принадлежала сектору линейной устойчивости.

Рекомендации

1. Леонов Г.А .; Кузнецов Н.В. (2011). «Алгоритмы поиска скрытых колебаний в задачах Айзермана и Калмана» (PDF). Доклады Математики. 84 (1): 475–481. Дои:10.1134 / S1064562411040120.
2. Брагин В.О .; Вагайцев В.И .; Кузнецов Н.В .; Леонов Г.А. (2011). "Алгоритмы поиска скрытых колебаний в нелинейных системах. Гипотезы Айзермана и Калмана и схемы Чуа" (PDF). Международный журнал компьютерных и системных наук. 50 (5): 511–543. Дои:10.1134 / S106423071104006X.
3. Кузнецов Н.В. (2020). «Теория скрытых колебаний и устойчивости систем управления» (PDF). Международный журнал компьютерных и системных наук. 59 (5): 647–668. Дои:10.1134 / S1064230720050093.
4. Леонов Г.А .; Кузнецов Н.В. (2013). «Скрытые аттракторы в динамических системах. От скрытых колебаний в задачах Гильберта-Колмогорова, Айзермана и Калмана до скрытых хаотических аттракторов в схемах Чуа». Международный журнал бифуркаций и хаоса. 23 (1): 1330002–219. Bibcode:2013IJBC ... 2330002L. Дои:10.1142 / S0218127413300024.

дальнейшее чтение

• Atherton, D.P .; Сюрис, Г. (1977). «Техника нелинейного управления». IEEE Transactions по системам, человеку и кибернетике. 7 (7): 567–568. Дои:10.1109 / TSMC.1977.4309773.

внешняя ссылка

• «Контрпримеры к гипотезам Айзермана и Калмана и описывающий метод функций» (PDF).