Аддитивная цепь Маркова - Additive Markov chain

В теория вероятности, аддитивная цепь Маркова это Цепь Маркова с добавка условная возможность функция. Здесь процесс дискретное время Марковская цепь порядка м а вероятность перехода в состояние в следующий раз представляет собой сумму функций, каждая из которых зависит от следующего состояния и одного из м предыдущие состояния.

Определение

Аддитивная марковская цепь порядка м это последовательность случайные переменные Икс₁, Икс₂, Икс₃, ..., обладающий следующим свойством: вероятность того, что случайная величина Икс_п имеет определенную ценность Икс_п при условии, что значения всех предыдущих переменных фиксированы, зависит от значений м только предыдущие переменные (Цепь Маркова порядка м), а влияние предыдущих переменных на сгенерированную является аддитивным,

${displaystyle Pr(X_{n}=x_{n}mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},dots ,X_{n-m}=x_{n-m})=sum _{r=1}^{m}f(x_{n},x_{n-r},r).}$

Двоичный регистр

А двоичный аддитивная цепь Маркова - это то, где пространство состояний цепочки состоит только из двух значений, Икс_п ∈ { Икс₁, Икс₂ }. Например, Икс_п ∈ {0, 1}. Функцию условной вероятности бинарной аддитивной цепи Маркова можно представить в виде

${displaystyle Pr(X_{n}=1mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},dots )={ar {X}}+sum _{r=1}^{m}F(r)(x_{n-r}-{ar {X}}),}$

${displaystyle Pr(X_{n}=0mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},dots )=1-Pr(X_{n}=1mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},dots ).}$

Здесь ${displaystyle {ar {X}}}$ вероятность найти Икс_п = 1 в последовательности иF(р) называется функцией памяти. Значение ${displaystyle {ar {X}}}$ и функция F(р) содержат всю информацию о корреляция свойства цепи Маркова.

Связь между функцией памяти и корреляционной функцией

В двоичном случае корреляционная функция между переменными ${displaystyle X_{n}}$ и ${displaystyle X_{k}}$ цепи зависит от расстояния ${displaystyle n-k}$ Только. Это определяется следующим образом:

${displaystyle K(r)=langle (X_{n}-{ar {X}})(X_{n+r}-{ar {X}})angle =langle X_{n}X_{n+r}angle -{ar {X}}^{2},}$

где символ ${displaystyle langle cdots angle }$ обозначает усреднение по всем п. По определению,

${displaystyle K(-r)=K(r),K(0)={ar {X}}(1-{ar {X}}).}$

Существует связь между функцией памяти и корреляционной функцией двоичной аддитивной цепи Маркова:^[1]

${displaystyle K(r)=sum _{s=1}^{m}K(r-s)F(s),,,,,r=1,2,dots ,.}$

Смотрите также

• Примеры цепей Маркова

Примечания

1. С.С. Мельник, О.В. Усатенко, В.А. Ямпольский. (2006) «Функции памяти аддитивных цепей Маркова: приложения к сложным динамическим системам», Physica A, 361 (2), 405–415 Дои:10.1016 / j.physa.2005.06.083

Рекомендации

• А.А. Марков. (1906) "Распространение закона больших зубил на величины, зависящие от другого". Известия Физико-математического общества при Казанском университете., 2-я серия, том 15, 135–156
• А.А. Марков. (1971) «Распространение предельных теорем теории вероятностей на сумму переменных, соединенных в цепочку». перепечатано в Приложении B к: R. Howard. Динамические вероятностные системы, том 1: Марковские цепи. Джон Уайли и сыновья
• С. Ход; У. Кешет (2004). «Фазовый переход в случайных блужданиях с дальнодействующими корреляциями». Phys. Ред. E. 70: 015104. arXiv:cond-mat / 0311483. Bibcode:2004PhRvE..70a5104H. Дои:10.1103 / PhysRevE.70.015104.
• S.L. Нарасимхан; J.A. Натан; К.П.Н. Мурти (2005). «Может ли грубое зерно ввести дальние корреляции в символическую последовательность?». Europhys. Латыш. 69 (1): 22. arXiv:cond-mat / 0409042. Bibcode:2005ЭЛ ..... 69 ... 22Н. Дои:10.1209 / epl / i2004-10307-2.
• Рамакришнан, С. (1981) "Конечно-аддитивные цепи Маркова", Труды Американского математического общества, 265 (1), 247–272 JSTOR  1998493